第12回圏論勉強会@ワークスアプリケーションズ その1 第12回 自然変換と米田の補題 関手と関手の間の自然変換 関手\(F, G:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D}\)の間の自然変換\(\theta\)とは\(\theta_X:F(X)\rightarrow G(X)\)の集合で、任意の\(\mathcal{C…

第11回 指数対象 デカルト閉圏 第11回圏論勉強会@ワークスアプリケーションズ その1 指数対象 指数対象\(B^A\)とは対象間の射の集合の一般化。\(\mathcal{Sets}\)では\(B^A=Hom_{\mathcal{Sets}}(A,B)\)。ただしHom集合では内部構造を使った定義であり、射の…

第7回 様々な極限 代数的データ型 第7回圏論勉強会@ワークスアプリケーションズ 復習で少しびびります。ここは図式なしで。 空圏の極限は終対象。空圏の余極限は始対象。 2つ以上の対象からなる離散圏の極限は直積。余極限は直和。 1つの対象からなる圏の極…

第6回 積 余積 極限 第6回圏論勉強会@ワークスアプリケーションズ 終対象: その対象に対して、すべての対象から向かう射が唯一存在すること。 同型を除いて一つに定まる。証明：2つの終対象A, Bがある場合、定義より以下の図式が成り立つ。 $$\xymatrix{ A \…

圏論勉強会のYouTubeビデオで圏論をかじっているのですが、並行して、たまたま、以下の記事が目につきました。 陰関数の不等式（等式）が図形を描く時、2つ以上の陰関数のmaxやminの不等式（や等式）で図形の共通部分や合併、境界を書くことができる、という…

16年前 こちらのビデオの勉強ノートです。 圏論勉強会 第4回 第４回 Hom集合 Hom集合は圏Cの2つの対象の間の射の集合Hom_c(A,B)。 1を要素1つの集合とすると、Hom_sets(1, A)とAは同型。 Hom(1,A)の要素数とAの要素数は同じ。この仕組みで対象の中が射として…

2013年 盆踊り（当時は三密OK!） ノートを取ると理解が定着しそうなこと、しばらく経って忘れた頃、見直す何かがあると便利だと思い、勉強ノートを書きます。 可換図式はmathjaxのxyjax (latexのxypicを移植したもの)で書きました。別記事でこの設定について…

Youtubeのビデオを見ればよく知らない数学の分野が少しでも分かるようになるのでしょうか。ちゃんとしたビデオはそれなりの長さ（1時間とか2時間とか）があり、見るのも大変です。 まあでもやってみようかと思い立ち、 「圏論勉強会」 というビデオシリーズ…

リュカ多項式に関する性質をさらに証明していきます。前回の記事でリュカ多項式とお友達になった皆さんには是非読んでいただきたいです。 引き続き参考文献は、Matt Baker教授のブログ記事： です。教授の記事でタイポのようなものに気がつき、コメントした…

この記事のコードをJupyter notebook形式で見るにはこちら。 リュカ多項式の様々な性質については「数学的帰納法で証明できる」で済ませてきました。リュカ多項式とお友達になるには、この記事で証明を確認してください。この記事の証明はMatt Baker 教授の…

この記事のコードをJupyter notebook形式で見るにはこちら。 引き続きジョージア工科大学のMatt Baker教授のブログから、リュカ多項式による平方剰余の相互法則の証明を説明します。 前回(1)では終結式について解説しました。終結式の性質として以下の4つを…

この記事のコードをJupyter notebook形式で見るにはこちら。 数学者が運営している数学ブログを見つけては読んでいます。そんな中、とても面白い記事を見つけました。 ジョージア工科大学数学科のMatt Baker教授のブログの記事で、「リュカ多項式を使った平…

この記事のコードをJupyter notebook形式で見るにはこちら。 tsujimotterさんのブログ記事は難しいやつは読みきれないものも多いのですが、Maximaで計算してみて、記事にさせていただくこともあり、いつも楽しみにしています。そんな中、分数の和で約分が生…

この記事のコードをJupyter notebook形式で見るにはこちら。 オイラーマクローリン総和公式の応用をもう一つだけ。 \( \sum_{n=1}^{N}{\sqrt{n}} \) をほぼ正確に近似する公式を求めてみます。この総和は、ゼータ関数をs=-1/2を含む範囲まで解析接続した時の…

この記事のコードをJupyter notebook形式で見るにはこちら。 周期的ベルヌーイ多項式はベルヌーイ多項式の区間[0,1]を繋いだものです。その区間には必ず最大、最小があります。従って周期的ベルヌーイ多項式の絶対値は適当な正の定数Cで抑えられます。このこ…

この記事のコードをJupyter notebook形式で見るにはこちら。 オイラーマクローリンの総和公式は色々な使い方ができることでも有名です。級数の数値計算は典型的な使い方ですが、ゼータ関数の定義域(通常の定義では\(s\gt1\))を広げることにも使えます（いわ…

この記事のコードをJupyter notebook形式で見るにはこちら。 せっかく作ったオイラーマクローリン総和公式パッケージを使って、具体的な応用を一つ。同じオイラーが考えたオイラーマスケローニ定数を数値的に求めてみます。（Maximaには%gammaという定数とし…

Maxima-asdfの面白いところは、じぶんで何かMaximaのプログラムを作ったら、簡単にGithubで公開して、世の中に貢献できることです。 と言うわけで一つ作ったのが、オイラー・マクローリン総和パッケージです。 GitHub - YasuakiHonda/euler-maclaurin-sum: S…

前回の記事： では五角数定理の係数と約数和関数の漸化式の間の不思議な関係について、現象論的に紹介しました。これは黒川先生の本（上記記事で紹介）の最後の方に載っているお話です。 (%i1) :lisp (progn (ql:quickload :drakma)(ql:quickload :maxima-as…

この本、Maximaで試しやすい話題が多く、とても気に入っています。 オイラー探検-無限大の滝と12連峰 (シュプリンガー数学リーディングス) 作者:黒川 信重 発売日: 2007/10/03 メディア: 単行本 久しぶりに読み返してみて、オイラーの五角数定理の係数と約数…

100ft maxima.hatenablog.jp 上記の記事で、円周率\(\pi\)の多桁計算の世界記録について触れました。そこで登場したBill Gosper、数学者兼ハッカーとして紹介されていました。この人の名前、数式処理に興味のある方ならきっと知っている、あの「ゴスパーのア…

コロナ対策の一環で3月初旬から在宅勤務をしています。今は世の中に貢献できることが、「家にいて病気にならないこと」、だけなので、それを実践しています。医療関係の方々のみならず、社会インフラを動かすために出勤される皆様には敬意を表します。 平日…

ヴィットの公式とは、極限をp進収束で考えたときに、 $$\notag \lim_{N\rightarrow \infty }{\frac{\sum_{k=1}^{p^{N}}{k^{m}}}{p^{N}}}=B_{m} $$ でした。そして前回、ちょっとした補題を証明しました。それがこちらです。 $$ \notag \lim_{N\rightarrow \i…

ヴィットの公式、折角なので証明したいと思います。 参照させて頂いている青木先生の著書 p進ゼータ関数 久保田-レオポルドから岩澤理論へ (シリーズ「ゼータの現在」) 作者:青木 美穂 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2019/02/22 メディア: 単行本 に…

実は、このp進数に関する一連のシリーズの目標は、ヴィットの公式を示すことに置いていました。ヴィットの公式とは以下の式です。ただし極限はp進距離(差のp進絶対値)で考えます。左辺\(B_k\)はk番目のベルヌーイ数です。 $$ \notag B_{k}=\lim_{N\rightarro…

p進数の絶対値や距離が「非アルキメデス的」とよく言われます。これって何のことなのでしょうか。 非アルキメデス的絶対値の定義や性質は、 p進ゼータ関数 久保田-レオポルドから岩澤理論へ (シリーズ「ゼータの現在」) 作者:青木 美穂 出版社/メーカー: 日…

0でない任意の整数(実際には有理数でも成り立つ）xについて、xの絶対値とxの全てのp進絶対値(pはすべての素数にわたる)を掛け合わすと1になる、という美しい式が成り立ちます。 $$ \left| x\right| \,\prod_{p}\left| x \right|_{p}=1$$ この式の左辺を特定…

あけましておめでとうございます。本年もよろしくお願いいたします。 前回の記事で、等比級数の無限和の公式が、比が素数の場合にもp進距離に基づく収束で成り立つことが数値計算で実感できました。では証明はどのようにすれば良いのでしょうか。 証明したい…

絶対値が定義できると、差の絶対値として距離を定義できます。その事情はp進の世界でも同じです。２つの有理数の差がpでよく割り切れれば、つまり差のp進絶対値が小さければ、この2つの数を「近い」とみなします。 (%i1) texput(nounify(padic_norm), lambda…

p進数、p進附値、p進絶対値、p進L関数、、、など数論の世界には実数とは違ったp進の世界があり、その数の理論を使って数学の様々な定理が証明されている、と書物には書いてあります。 そうは言っても、Maximaにはp進数を扱えるようなパッケージはないし、普…