ヴィットの公式とは、極限をp進収束で考えたときに、
$$\notag \lim_{N\rightarrow \infty }{\frac{\sum_{k=1}^{p^{N}}{k^{m}}}{p^{N}}}=B_{m} $$
でした。そして前回、ちょっとした補題を証明しました。それがこちらです。
$$ \notag \lim_{N\rightarrow \infty }{f\left(p^{N}\right)}=f\left(0\right) $$
ただし\(f\left(x\right)\)は\(Q\)係数の多項式で、この収束はp進収束で考えてます。今回は冪乗話の公式（ファウルハーバー の公式、ベルヌーイ・関の公式）をちょっとだけいじったものに上記の補題を適用することでヴィットの公式の証明を完了します。
(%i2) texbern(e):=concat("B_{",tex1(args(e)[1]),"}")$
(%i3) texput(bern,texbern)$
(%i4) texput(nounify(bern),texbern)$
自然数1〜nについてそれらをm乗したものを全て足した数を、nの関数として求めたのが冪乗話の公式であり、それは以下の通りです。
(%i5) Fau:sum(k^m,k,1,n)=1/(m+1)*sum(binomial(m+1,j)*bern(j)*n^(m+1-j),j,0,m);
$$ \tag{%o5} \sum_{k=1}^{n}{k^{m}}=\frac{\sum_{j=0}^{m}{B_{j}\,{{m+1}\choose{j}}\,n^{m-j+1}}}{m+1} $$
この右辺は\(Q\)係数のnの多項式で、定数項は0となり、右辺自体はnで割り切れます。そこでこの右辺をnで割った式の定数項（元の式で言えばnの係数）がm番目のベルヌーイ数となるのです。ちょっとやってみましょう。
m=8, 9, 10として右辺の1/nの定数項を計算してみます。
(%i6) 1/n*rhs(Fau),m:8,nouns,ratsimp;
$$ \tag{%o6} \frac{10\,n^8-45\,n^7+60\,n^6-42\,n^4+20\,n^2-3}{90} $$
(%i7) %,n:0;
$$ \tag{%o7} -\frac{1}{30} $$
(%i8) 1/n*rhs(Fau),m:9,nouns,ratsimp;
$$ \tag{%o8} \frac{2\,n^9-10\,n^8+15\,n^7-14\,n^5+10\,n^3-3\,n}{20} $$
(%i9) %,n:0;
$$ \tag{%o9} 0 $$
(%i10) 1/n*rhs(Fau),m:10,nouns,ratsimp;
$$ \tag{%o10} \frac{6\,n^{10}-33\,n^9+55\,n^8-66\,n^6+66\,n^4-33\,n^2+5}{66} $$
(%i11) %,n:0;
$$ \tag{%o11} \frac{5}{66} $$
m=8, 9, 10の時、右辺の1/nの定数項はそれぞれ\(-\frac{1}{30}, 0, \frac{5}{66}\)となることが分かりました。一方、8, 9, 10番目のベルヌーイ数は、
(%i12) 'bern(8)=bern(8);
$$ \tag{%o12} B_{8}=-\frac{1}{30} $$
(%i13) 'bern(9)=bern(9);
$$ \tag{%o13} B_{9}=0 $$
(%i14) 'bern(10)=bern(10);
$$ \tag{%o14} B_{10}=\frac{5}{66} $$
となって、確かに一致することが分かります。
それでは簡単に証明を済ませましょう。冪乗和の公式の両辺をnで割ります。
(%i15) Faun:Fau*1/n;
$$ \tag{%o15} \frac{\sum_{k=1}^{n}{k^{m}}}{n}=\frac{\sum_{j=0}^{m}{B_{j}\,{{m+1}\choose{j}}\,n^{m-j+1}}}{\left(m+1\right)\,n} $$
この式の左辺のnに\(p^N\)を代入すると、、、
(%i16) L:lhs(Faun),n:p^N;
$$ \tag{%o16} \frac{\sum_{k=1}^{p^{N}}{k^{m}}}{p^{N}} $$
極限を取る前の、証明したい式の左辺です。一方右辺は、
(%i17) rhs(Faun);
$$ \tag{%o17} \frac{\sum_{j=0}^{m}{B_{j}\,{{m+1}\choose{j}}\,n^{m-j+1}}}{\left(m+1\right)\,n} $$
総和記号の外に出ている式を内側に入れます。
(%i18) intosum(%);
$$ \tag{%o18} \sum_{j=0}^{m}{\frac{B_{j}\,{{m+1}\choose{j}}\,n^{m-j}}{m+1}} $$
この式の定数項を求めます。総和記号の中身は、
(%i19) part(%,1);
$$ \tag{%o19} \frac{B_{j}\,{{m+1}\choose{j}}\,n^{m-j}}{m+1} $$
この式でj=mの時がこのnの多項式の定数ですからそれを代入して簡略化しましょう。
(%i20) R:%,j=m;
$$ \tag{%o20} B_{m} $$
ちゃんと定数項はm番目のベルヌーイ数になりました！というわけで、%o16のNを無限大に持っていくと、右辺の定数項になるのですから、
(%i21) limit(L,N,inf)=R;
$$ \tag{%o21} \lim_{N\rightarrow \infty }{\frac{\sum_{k=1}^{p^{N}}{k^{m}}}{p^{N}}}=B_{m} $$
が成立することが分かった訳です。これで証明終了です。
