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オイラーマクローリン総和公式の応用をもう一つだけ。
\( \sum_{n=1}^{N}{\sqrt{n}} \)
をほぼ正確に近似する公式を求めてみます。この総和は、ゼータ関数をs=-1/2を含む範囲まで解析接続した時の、\(\zeta\left(-\frac{1}{2}\right) \)の値を求める際に登場しました。
その計算を振り返ってみます。
(%i1) install_github("YasuakiHonda","euler-maclaurin-sum","master")$
(%i2) asdf_load_source("euler-maclaurin-sum")$
(%i3) ems;
$$ \tag{${\it \%o}_{3}$}\sum_{n=N}^{M}{f\left(n\right)}=\sum_{k=1}^{K-1}{\frac{\left(-1\right)^{k+1}\,B_{k+1}\,\left(\left.\frac{d^{k}}{d\,x^{k}}\,f\left(x\right)\right|_{x=M}-\left.\frac{d^{k}}{d\,x^{k}}\,f\left(x\right)\right|_{x=N}\right)}{\left(k+1\right)!}}+\frac{\left(-1\right)^{K+1}\,\int_{N}^{M}{\overline{B}_{K}\left(x\right)\,\left(\frac{d^{K}}{d\,x^{K}}\,f\left(x\right)\right)\;dx}}{K!}+\int_{N}^{M}{f\left(x\right)\;dx}+\frac{f\left(N\right)}{2}+\frac{f\left(M\right)}{2} $$
(%i4) (assume(M>N), assume(N>0), assume(M>1), assume(s>1))$
(%i5) renz:ems,f(n):=n^(-s),K=4,nouns;
$$ \tag{${\it \%o}_{5}$}\sum_{n=N}^{M}{\frac{1}{n^{s}}}=\frac{\left(-s-3\right)\,\left(-s-2\right)\,\left(-s-1\right)\,s\,\int_{N}^{M}{x^{-s-4}\,\overline{B}_{4}\left(x\right)\;dx}}{24}+\frac{N}{N^{s}\,s-N^{s}}-\frac{M}{M^{s}\,s-M^{s}}-\frac{N^{-s-3}\,\left(-s-2\right)\,\left(-s-1\right)\,s-M^{-s-3}\,\left(-s-2\right)\,\left(-s-1\right)\,s}{720}+\frac{N^{-s-1}\,s-M^{-s-1}\,s}{12}+\frac{1}{2\,N^{s}}+\frac{1}{2\,M^{s}} $$
(%i6) renz1:subst(inf,M,lhs(renz))=map(lambda([exp],factor(limit(exp,M,inf))),rhs(renz));
$$ \tag{${\it \%o}_{6}$}\sum_{n=N}^{\infty }{\frac{1}{n^{s}}}=-\frac{s\,\left(s+1\right)\,\left(s+2\right)\,\left(s+3\right)\,\left(\lim_{M\rightarrow \infty }{\int_{N}^{M}{x^{-s-4}\,\overline{B}_{4}\left(x\right)\;dx}}\right)}{24}-\frac{N^{-s-3}\,s\,\left(s+1\right)\,\left(s+2\right)}{720}+\frac{N^{-s-1}\,s}{12}+\frac{N^{1-s}}{s-1}+\frac{1}{2\,N^{s}} $$
(%i7) zeta(s)=sum(n^(-s),n,1,N)+sum(n^(-s),n,N,inf)-N^(-s);
$$ \tag{${\it \%o}_{7}$}\zeta\left(s\right)=-\frac{1}{N^{s}}+\sum_{n=N}^{\infty }{\frac{1}{n^{s}}}+\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{n^{s}}} $$
(%i8) renz2:%,renz1;
$$ \tag{${\it \%o}_{8}$}\zeta\left(s\right)=-\frac{s\,\left(s+1\right)\,\left(s+2\right)\,\left(s+3\right)\,\left(\lim_{M\rightarrow \infty }{\int_{N}^{M}{x^{-s-4}\,\overline{B}_{4}\left(x\right)\;dx}}\right)}{24}-\frac{N^{-s-3}\,s\,\left(s+1\right)\,\left(s+2\right)}{720}+\frac{N^{-s-1}\,s}{12}+\frac{N^{1-s}}{s-1}-\frac{1}{2\,N^{s}}+\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{n^{s}}} $$
(%i9) renz3:lhs(renz2)=limit(rhs(substpart(0,renz2,2,1)),N,inf);
$$ \tag{${\it \%o}_{9}$}\zeta\left(s\right)=\lim_{N\rightarrow \infty }{-\frac{N^{-s-3}\,s\,\left(s+1\right)\,\left(s+2\right)}{720}+\frac{N^{-s-1}\,s}{12}+\frac{N^{1-s}}{s-1}-\frac{1}{2\,N^{s}}+\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{n^{s}}}} $$
上記までで、ゼータ関数が-3<sの範囲まで解析接続が完了しました。
そこでs=-1/2とおくと、
(%i10) renz3,s=-1/2;
$$ \tag{${\it \%o}_{10}$}\zeta\left(-\frac{1}{2}\right)=\lim_{N\rightarrow \infty }{\sum_{n=1}^{N}{\sqrt{n}}-\frac{2\,N^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{\sqrt{N}}{2}-\frac{1}{24\,\sqrt{N}}+\frac{1}{1920\,N^{\frac{5}{2}}}} $$
極限記号を外し、以下、等号を「漸近近似」と読み替えることにします。
(%i11) substpart(part(%,2,1),%,2);
$$ \tag{${\it \%o}_{11}$}\zeta\left(-\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{N}{\sqrt{n}}-\frac{2\,N^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{\sqrt{N}}{2}-\frac{1}{24\,\sqrt{N}}+\frac{1}{1920\,N^{\frac{5}{2}}} $$
\( \sum_{n=1}^{N}{\sqrt{n}} \)の漸近近似がもとまりました。
(%i12) asympt_root_N:(%-part(%,2,1)-zeta(-1/2))*(-1);
$$ \tag{${\it \%o}_{12}$}\sum_{n=1}^{N}{\sqrt{n}}=\frac{2\,N^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{\sqrt{N}}{2}+\frac{1}{24\,\sqrt{N}}-\frac{1}{1920\,N^{\frac{5}{2}}}+\zeta\left(-\frac{1}{2}\right) $$
N=5,500,5000について、左辺と右辺を別々に計算して、ほぼ一致することを確認してみます。左辺を関数として定義します。
(%i13) define(sum_root(N),lhs(asympt_root_N));
$$ \tag{${\it \%o}_{13}$}{\it sum\_root}\left(N\right):=\sum_{n=1}^{N}{\sqrt{n}} $$
N=5,500,5000でこの関数を計算します。
(%i14) [sum_root(5),sum_root(500),sum_root(5000)],nouns,numer;
$$ \tag{${\it \%o}_{14}$}\left[ 8.382332347441762 , 7464.534242051704 , 235737.4084376061 \right] $$
同様に%o12の右辺を関数として定義します。
(%i15) define(asymp_sum_root(N),rhs(asympt_root_N));
$$ \tag{${\it \%o}_{15}$}{\it asymp\_sum\_root}\left(N\right):=\frac{2\,N^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{\sqrt{N}}{2}+\frac{1}{24\,\sqrt{N}}-\frac{1}{1920\,N^{\frac{5}{2}}}+\zeta\left(-\frac{1}{2}\right) $$
N=5,500,5000でこの関数を計算します。
(%i16) [asymp_sum_root(5),asymp_sum_root(500),asymp_sum_root(5000)],nouns,numer;
$$ \tag{${\it \%o}_{16}$}\left[ 8.382332271634432 , 7464.53424205171 , 235737.4084376059 \right] $$
%o14と%o16を比較することで、大変よく近似できていることが分かります。
