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周期的ベルヌーイ多項式はベルヌーイ多項式の区間[0,1]を繋いだものです。その区間には必ず最大、最小があります。従って周期的ベルヌーイ多項式の絶対値は適当な正の定数Cで抑えられます。このことと広義積分の絶対収束を使って評価を行ってみます。
(%i1) install_github("YasuakiHonda","euler-maclaurin-sum","master")$
(%i2) asdf_load_source("euler-maclaurin-sum")$
(%i3) [assume(M>N),assume(N>=1),assume(s>1),assume(x>=N)];
$$ \tag{%o3} \left[ \left[ M>N \right] , \left[ N\geq 1 \right] , \left[ s>1 \right] , \left[ x\geq N \right] \right] $$
評価対象の積分は以前に登場したこの積分です。ただし、M→∞の広義積分(はNの関数になるので)でN→∞とした式の値を求めたいのです。
(%i4) INT0:integrate(periodic_bernpoly(x,n)/x^s,x,N,M);
$$ \tag{%o4} \int_{N}^{M}{\frac{\overline{B}_{n}\left(x\right)}{x^{s}}\;dx} $$
絶対収束によれば、
(%i5) (INT1:integrate(abs(periodic_bernpoly(x,n)/x^s),x,N,M))>=abs(INT0);
$$ \tag{%o5} \int_{N}^{M}{\frac{\left| \overline{B}_{n}\left(x\right)\right| }{x^{s}}\;dx}\geq \left| \int_{N}^{M}{\frac{\overline{B}_{n}\left(x\right)}{x^{s}}\;dx}\right| $$
この左辺が収束すれば右辺も収束します。
そこで、
(%i6) assume(C>part(INT1,1,1));
$$ \tag{%o6} \left[ C>\left| \overline{B}_{n}\left(x\right)\right| \right] $$
というCを考えると、
(%i7) substpart(C,INT1,1,1)>=INT1;
$$ \tag{%o7} C\,\int_{N}^{M}{\frac{1}{x^{s}}\;dx}\geq \int_{N}^{M}{\frac{\left| \overline{B}_{n}\left(x\right)\right| }{x^{s}}\;dx} $$
が成り立ちます。左辺を計算すると、
(%i8) %,nouns,expand;
$$ \tag{%o8} \frac{C\,N}{N^{s}\,s-N^{s}}-\frac{C\,M}{M^{s}\,s-M^{s}}\geq \int_{N}^{M}{\frac{\left| \overline{B}_{n}\left(x\right)\right| }{x^{s}}\;dx} $$
です。ここでまずM→∞を取り、さらにN→∞を取ることが出来ます。
(%i9) map(lambda([F],limit(limit(F,M,inf),N,inf)),%);
$$ \tag{%o9} 0\geq \lim_{N\rightarrow \infty }{\lim_{M\rightarrow \infty }{\int_{N}^{M}{\frac{\left| \overline{B}_{n}\left(x\right)\right| }{x^{s}}\;dx}}} $$
右辺は明らかに0以上ですから、以下が分かります。
(%i10) rhs(%)=0;
$$ \tag{%o10} \lim_{N\rightarrow \infty }{\lim_{M\rightarrow \infty }{\int_{N}^{M}{\frac{\left| \overline{B}_{n}\left(x\right)\right| }{x^{s}}\;dx}}}=0 $$
