お昼寝
引き続き、黒川教授のこちらの本からです。
整数nの約数のa乗和と同じnの約数のb乗和をかけたものを係数とするディリクレ級数を計算してみましょう。
(%i1) sum(divsum(n,a)*divsum(n,b)/n^s,n,1,inf)=zeta(s)*zeta(s-a)*zeta(s-b)*zeta(s-a-b)/zeta(2*s-a-b);
$$ \tag{%o1} \sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\sigma_{a}\left(n\right)\,\sigma_{b}\left(n\right)}{n^{s}}}=\frac{\zeta\left(s\right)\,\zeta\left(s-a\right)\,\zeta\left(s-b\right)\,\zeta\left(s-b-a\right)}{\zeta\left(2\,s-b-a\right)} $$
(%o1)の左辺を計算すると右辺になるのです。
初めてみたら、どうやって証明するのかわからないこの式も、前回の記事
と同じ方針で計算を進めることができます。以下の式から始めることにします。
(%i2) f1:sum(divsum(p^k,a)*divsum(p^k,b)*u^k,k,0,inf);
$$ \tag{%o2} \sum_{k=0}^{\infty }{\sigma_{a}\left(p^{k}\right)\,\sigma_{b}\left(p^{k}\right)\,u^{k}} $$
素数pのX乗の約数のY乗和はsum(p^(n*Y),n,0,X)と書けるのでその式変形をルールとして定義して利用します。
(%i3) matchdeclare([X,Y],true)$
(%i4) defrule(ds1,divsum(p^X,Y),nusum(p^(n*Y),n,0,X));
$$ \tag{%o4} \mathrm{ds1}:\sigma_{Y}\left(p^{X}\right)\rightarrow \mathrm{nusum}\left(p^{n\,Y} , n , 0 , X\right) $$
早速(%o2)にこのルールを適用します。
(%i5) apply1(f1,ds1);
$$ \tag{%o5} \sum_{k=0}^{\infty }{\left(\frac{p^{a+a\,k}}{p^{a}-1}-\frac{1}{p^{a}-1}\right)\,\left(\frac{p^{b+b\,k}}{p^{b}-1}-\frac{1}{p^{b}-1}\right)\,u^{k}} $$
sum()の中身の式を展開します。
(%i6) %,expand;
$$ \tag{%o6} \sum_{k=0}^{\infty }{\left(\frac{u^{k}}{p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1}-\frac{p^{a+a\,k}\,u^{k}}{p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1} \\ -\frac{p^{b+b\,k}\,u^{k}}{p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1}+\frac{p^{a+b+a\,k+b\,k}\,u^{k}}{p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1}\right)} $$
絶対収束するので、以下のように4つの無限和に分解できます。
(%i7) f2:sum(part(%,1,1),k,0,inf)+sum(part(%,1,2),k,0,inf) +sum(part(%,1,3),k,0,inf)+sum(part(%,1,4),k,0,inf);
$$ \tag{%o7} \frac{\sum_{k=0}^{\infty }{p^{a+b+a\,k+b\,k}\,u^{k}}}{p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1}-\frac{\sum_{k=0}^{\infty }{p^{b+b\,k}\,u^{k}}}{p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1}-\frac{\sum_{k=0}^{\infty }{p^{a+a\,k}\,u^{k}}}{p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1}+\frac{\sum_{k=0}^{\infty }{u^{k}}}{p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1} $$
以下のような条件でこの和を求めます。
(%i8) (assume(abs(p^(a+b))*abs(u)<1),
assume(abs(p^(a))*abs(u)<1),
assume(abs(p^(b))*abs(u)<1),
assume(abs(u)<1))$
(%i9) simplify_sum(f2);
$$ \tag{%o9} \frac{p^{a+b}}{\left(p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1\right)\,\left(1-p^{a+b}\,u\right)} \\ -\frac{p^{b}}{\left(p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1\right)\,\left(1-p^{b}\,u\right)}-\frac{p^{a}}{\left(p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1\right)\,\left(1-p^{a}\,u\right)}+\frac{1}{\left(p^{a+b}-p^{b}-p^{a}+1\right)\,\left(1-u\right)} $$
これ、因数分解出来ます。
(%i10) factor(%);
$$ \tag{%o10} -\frac{p^{a+b}\,u^2-1}{\left(u-1\right)\,\left(p^{a}\,u-1\right)\,\left(p^{b}\,u-1\right)\,\left(p^{a+b}\,u-1\right)} $$
これが(%o2)と等しいので、次を得ます。
(%i11) f1=%;
$$ \tag{%o11} \sum_{k=0}^{\infty }{\sigma_{a}\left(p^{k}\right)\,\sigma_{b}\left(p^{k}\right)\,u^{k}} \\ =-\frac{p^{a+b}\,u^2-1}{\left(u-1\right)\,\left(p^{a}\,u-1\right)\,\left(p^{b}\,u-1\right)\,\left(p^{a+b}\,u-1\right)} $$
ここでuにp^(-s)を代入します。
(%i12) f3:%,u=p^(-s);
$$ \tag{%o12} \sum_{k=0}^{\infty }{\frac{\sigma_{a}\left(p^{k}\right)\,\sigma_{b}\left(p^{k}\right)}{p^{k\,s}}} \\ =-\frac{p^{a+b-2\,s}-1}{\left(p^{a-s}-1\right)\,\left(p^{b-s}-1\right)\,\left(p^{a+b-s}-1\right)\,\left(\frac{1}{p^{s}}-1\right)} $$
これで主要な計算は終了です。あとはディリクレ級数のオイラー積：
(%i13) sum(a[n]/n^s,n,1,inf)=pproduct(sum(a[p^k]/p^(s*k),k,0,inf),p,inf);
$$ \tag{%o13} \sum_{n=1}^{\infty }{\frac{a_{n}}{n^{s}}}=\prod_{p}\sum_{k=0}^{\infty }{\frac{a_{p^{k}}}{p^{k\,s}}} $$
に約数のa乗和と約数のb乗和の積を代入し、
(%i14) f0:%,a[n]:=divsum(n,a)*divsum(n,b);
$$ \tag{%o14} \sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\sigma_{a}\left(n\right)\,\sigma_{b}\left(n\right)}{n^{s}}}=\prod_{p}\sum_{k=0}^{\infty }{\frac{\sigma_{a}\left(p^{k}\right)\,\sigma_{b}\left(p^{k}\right)}{p^{k\,s}}} $$
ここに(%o12)を代入すればおしまいです。
(%i15) %,f3;
$$ \tag{%o15} \sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\sigma_{a}\left(n\right)\,\sigma_{b}\left(n\right)}{n^{s}}}\\=\prod_{p}-\frac{p^{a+b-2\,s}-1}{\left(p^{a-s}-1\right)\,\left(p^{b-s}-1\right)\,\left(p^{a+b-s}-1\right)\,\left(\frac{1}{p^{s}}-1\right)} $$
右辺を、４つのオイラー積を１つのオイラー積で割ったもの、と見れば最初に見た式と同じであることがわかります。
ちなみに同書ではこの積の計算を「テンソル積」と呼んでいるのですが、いわゆる多重線形性から出てくるテンソル積とこの積の関係が今一つピンときていません。
