庭で見つけた足長蜂の巣。業者の方に退治してもらいました。
今回は次の公式を証明します。
\(P(q)=1-24\,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,q^n}{1-q^n}, a\,b=\pi^2\)として、
$$ 6-a\,P\left(e^{-2\,a}\right)=b\,P\left(e^{-2\,b}\right)$$
参考文献としては以前のブログ記事
でも紹介した、Nayandeep Deka BaruahさんとBruce C. Berndtさんの論文
Eisenstein series and Ramanujan-type series for 1/π
です。6ページの式番号(3.25)が上記の式そのものです。
証明は前回求めた式
$$a^{\frac{1}{4}}\,e^ {- \frac{a}{12} }\,\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-e^ {- 2\,a\,n }\right)}=b^{\frac{1}{4}}\,e^ {- \frac{b}{12} }\,\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-e^ {- 2\,b\,n }\right)}$$
の両辺の対数をとって\(a\)で微分すると得られます。
