今回もMathematics In Lean 4の第8章 群と環 から8.1.3 部分群を読んでいます。 8.1.3のハイライトはラグランジュの定理です。 ラグランジュの定理：有限群の部分群の位数はもとの群の位数の約数である。 |G|=[G:G'] |G'| 、あるいは同じことだが、|G|=|G/G'…

Mathematics In Lean 4の第8章 群と環 に進みます。今回は8.1.3 部分群を読んでみます。 あるタイプAの元の集合が群をなすことを示すにはGroup A、Aの元の集合の部分集合がAの演算で群をなす（部分群になる）ことを示すにはSubgroup Aと書きます。演算が加法…

Mathematics In Lean 4の第8章 群と環 に進みます。第8章ではこれらの代数構造について部分集合や代数構造間の写像をLean4で表現する方法を学びます。代数構造としてはより単純なモノイドも扱います。演算の言葉として加法や乗法が出てきますが、主に記号の…

Mathematics in Lean4を読んでいます。第7章1節で環の定義のあたりを勉強しています。前回は半群、モノイド、群などを定義し、また環の定義に備えて、乗法モノイドの性質を加法群に自動変換する方法なども説明しました。 ここまでくれば環を定義することがで…

Mathematics In Leanから第7章 階層 7.1 基礎の勉強を続けます。 "At this stage we would like to move on to define rings"というあたりで、ここから環を定義していきます。 環を定義するにあたっての課題意識は環の２つの演算である加法群と乗法モノイド…

群にあってモノイドにないものは、、、そう、逆元です。モノイドにはすでに演算があり単位元があり演算は結合的でした。そこに全ての元に逆元があれば群になるわけです。 一旦前回までに定義した道具立てを再掲しておきます。 class Semigroup₂ (α : Type) e…

Mathematics In Leanから第7章 階層 7.1 基礎を勉強中です。 ここでは代数構造の階層を構成する方法を知ります。目的はその仕組みの概要を知ることで階層を使えるようになることだそうです。なので完全な理解というよりも主要な言葉や考え方などが理解できれ…

お久しぶりになってしまいました。 暑い夏の間ちょっと数学系の話題から離れていたこともありこのブログもしばらく放置してしまいました。ぼちぼち復活していきたいと思います。 今回はすこしリハビリも兼ねて最近の私の開発環境の話です。Lean4をM1 iMac, V…

前回の記事では普通の証明としてEuclideanDomainには零因子がないことを示しました。こんな感じでした。 $a, b$を零因子、すなわち$a\ne 0, b\ne 0, a * b=0$とします。$a * b = 0$及び$r\; 0\; a$から$r\; (a*b)\; a$。これはmul_left_not_lt a bに矛盾しま…

前回疑問に思ったことはまだ解決していません。なので今回は疑問となぜそう思ったのかだけを書いておきます。 前回までの記事でgaussIntは可換環であることを示しました。またgaussIntにquotientやremainderを定義し除法の原理を示すことでEuclideanDomainと…

ちょっとだけ環論の基礎の復習です。 可換環とは加法と乗法が定義されており、それぞれの単位元が0, 1であり、どちらもどちらも可換、かつ分配法則が成り立つ集合です。 整域とは零因子のない可換環でかつ自明でない環です。 $a, b$が零因子とは$a\ne 0, b\n…

$i$を虚数単位とします。つまり$i=\sqrt{-1}$です。このときガウス整数とは$a+b\,i,\, a,b\in\mathbb{Z}$という形をした複素数をガウス整数と呼びます。虚部と実部が整数であるような複素数のことです。例えば$-3i,\, 17+38i$はいずれもガウス整数です。一方…

Mathematics in Lean4 もいよいよ第6章まできました。「6.1 構造の定義」は今までの知識があればとても簡単に読み進むことができました。いわゆるレコード型のような構造およびそのレコード型に付随する関数（演算）、そしてレコード型の各フィールドあるい…

連休直前の４月２９日より、イギリスでは消費者向けの様々なIoT機器（みなさんがよく使っているスマホ・スマートテレビ・スマートスピーカーを含むおよそ全てのネット接続機器）に一定のセキュリティ対策が施されて販売されています。 非常に大雑把に言うと…

Mathematics in Lean4の数論の章の３つ目のセクションではいよいよ「自然数には素数が無限個ある」ことを形式化して証明します。 証明方法として３つのやり方が説明されています。それぞれの形式化も異なるので下記に記載してみました。 ある自然数nに対して…

有限の場合の総和記号について勉強したことで任意桁数の場合の３の倍数の確認方法について形式化して証明することが出来そうです。ということでやってみました。 まず与えられた自然数が３の倍数かどうかの確認方法と普通の証明をざっと述べてみます。 ３の…

Mathmatics In Lean4の第5章 初等数論の２つ目の話題は帰納法と再帰です。自然数では定義が帰納的であること（自然数型は帰納型であること）を知ります。 inductive Nat | zero : Nat | succ (n : Nat) : Nat この意味は、0はNat型、Nat型の要素を１つとって…

まだ小学生の頃に習ったことで印象に残っているのは３の倍数の確認方法でした。各桁を足した数が３の倍数ならば元の数も３の倍数、というアレです。 倍数とか約数とかがLean4で扱えるようになり、この３の倍数の確認方法の証明を書き下してみようと思いまし…

Mathematics in Lean 4で進めてきているLean4の勉強も第4章となり、初等整数論が扱えるところまで来ました。 最初の節では$\sqrt{2}$が無理数であることを示します。とはいってもこの段階で示すことは$\sqrt{2}$が有理数であるとして矛盾を導くことまでです…

第4章「集合と関数」の最後のセクションはシュレーダー＝ベルンシュタインの定理のLean4による証明です。 初めてこの定理をきちんとした形で知りました。集合論の濃度に関する基本的な定理です。 定理：$\alpha, \beta$を集合、$f:\alpha \rightarrow\beta, …

Mathematics in Leanの第4章「集合と関数」の中の２つ目のセクションである「関数」を読みながら練習問題を解いています。その問題の中で集合族の積集合の写像と集合族の写像の積集合に関する問題がありました。全称量化子と存在量化子が絡み、なかなか手強…

しばらく前のmacOSではbluetoothイヤフォンで音楽を楽しむ際、コーデック選択の問題で音質が悪い状況がありました。私もiMacとソニーのWF-1000MX4 の組み合わせでこの辺について色々と試してきています。 最近知ったのですが、この状況は少なくともmacOS Son…

Mathematics in LeanもC04 Sets and Functionsの最初の章である集合まで辿り着きました。ここでは集合に関する性質の証明方法のLean4での実現の仕方を知ります。 集合が等しいこと(A=B)を示す場合、ゴールをA=Bとして方法として、AがBの部分集合であり、かつ…

Lean4を証明支援系として使っていても、型と証明の対応や関数型言語が突然現れることがあります。このことを知っていないと証明が読めないことがありました。 具体的には例えばある定理がこんな形だったとします。 def P (x:ℕ) : Prop := sorrytheorem theoA…

Lean4での論理記号の取り扱いの勉強も後半です。今回は論理積と論理和の扱いを見ていきます。この辺はあまり難しい話は出てきません。 ゴールが論理積A ∧ Bの形の場合にはconstructorタクティクを使うとAとBが両方ともゴールとなり両方証明するとA ∧ Bの証明…

否定が論理式に含まれているとき使えるタクティクを勉強しました。 introタクティク：ゴールがある命題の否定¬ Aである場合、intro hとすると仮定h: Aが導入されて、ゴールがFalse (矛盾)に変わります。仮定の集まりの中で適当な命題Bについてhb:Bとhbn:¬ B…

現役で最高の数学者のお一人で情報発信にも熱心なテレンスタオ教授のブログがあります。 terrytao.wordpress.com 残念ながら難しすぎて普段はほとんど見ない数学ブログですが、Lean4の勉強をしていたら検索で記事が１つヒットしました！ A slightly longer L…

ゴールに存在量化子が入っている場合、存在量化子がついた変数に値を入ることでゴールの論理式を証明することができます。useタクティクを使うと、「この値を使え」ということができます。例えばこんな感じです。 example : ∃ x : ℝ, 2 < x ∧ x < 3 := by us…

今勉強しているMILの第3章「論理」では仮定の論理式やゴールの論理式に登場する論理記号をタクティクでどのように取り扱えば良いのかを説明しています。 この章の最初の方で説明されるのは全称量化子 ∀ です。ゴールの論理式にこの論理記号がついている場合…

前の記事でcalcモードがわかっていないと書きました。calcは便利そうなのでとりあえず簡単なユースケースを勉強しました。理解できたと思うのでメモを残しておきます。 Quantifiers and Equality - Theorem Proving in Lean 4にある説明を中心にして理解しま…