数学
ヴィットの公式とは、極限をp進収束で考えたときに、 $$\notag \lim_{N\rightarrow \infty }{\frac{\sum_{k=1}^{p^{N}}{k^{m}}}{p^{N}}}=B_{m} $$ でした。そして前回、ちょっとした補題を証明しました。それがこちらです。 $$ \notag \lim_{N\rightarrow \i…
ヴィットの公式、折角なので証明したいと思います。 参照させて頂いている青木先生の著書 p進ゼータ関数 久保田-レオポルドから岩澤理論へ (シリーズ「ゼータの現在」) 作者:青木 美穂 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2019/02/22 メディア: 単行本 に…
実は、このp進数に関する一連のシリーズの目標は、ヴィットの公式を示すことに置いていました。ヴィットの公式とは以下の式です。ただし極限はp進距離(差のp進絶対値)で考えます。左辺\(B_k\)はk番目のベルヌーイ数です。 $$ \notag B_{k}=\lim_{N\rightarro…
p進数の絶対値や距離が「非アルキメデス的」とよく言われます。これって何のことなのでしょうか。 非アルキメデス的絶対値の定義や性質は、 p進ゼータ関数 久保田-レオポルドから岩澤理論へ (シリーズ「ゼータの現在」) 作者:青木 美穂 出版社/メーカー: 日…
0でない任意の整数(実際には有理数でも成り立つ）xについて、xの絶対値とxの全てのp進絶対値(pはすべての素数にわたる)を掛け合わすと1になる、という美しい式が成り立ちます。 $$ \left| x\right| \,\prod_{p}\left| x \right|_{p}=1$$ この式の左辺を特定…
あけましておめでとうございます。本年もよろしくお願いいたします。 前回の記事で、等比級数の無限和の公式が、比が素数の場合にもp進距離に基づく収束で成り立つことが数値計算で実感できました。では証明はどのようにすれば良いのでしょうか。 証明したい…
絶対値が定義できると、差の絶対値として距離を定義できます。その事情はp進の世界でも同じです。２つの有理数の差がpでよく割り切れれば、つまり差のp進絶対値が小さければ、この2つの数を「近い」とみなします。 (%i1) texput(nounify(padic_norm), lambda…
p進数、p進附値、p進絶対値、p進L関数、、、など数論の世界には実数とは違ったp進の世界があり、その数の理論を使って数学の様々な定理が証明されている、と書物には書いてあります。 そうは言っても、Maximaにはp進数を扱えるようなパッケージはないし、普…
Saito munetakaさんから頂いたコメントの中である５次方程式を解いてみてほしいとのご依頼がありました。早速やってみたところサクッと解けたので記事してみます。ただし、ここで求めた解が\( \left(\sin{\frac{n\,\pi}{11}}\right)^{2} \)に一致することを…
3連休の間に1日かけてGithubにレポジトリを作り、関連するファイルをアップロードして公開しました。まず、パッケージのダウンロード方法ですが、ここからダウンロードできます。 ちなみにパッケージの名前としてSolveSolvableで行こうかと思ったのですが、…
ガロア群を使って多項式の根を求める計算をまとめると、与えられた多項式のガロア群が可解群の場合、ガロア群の縮小に対応して係数体を冪根拡大させることが出来ます。その際にVの最小多項式を拡大体で因数分解することできます。単位群まで縮小させた場合、…
２引数のfactor()関数を使って各解を原子元Vで表す計算を行うgal_sol_V4()を組み込んだパッケージを作成しました。こちらからダウンロードできます。 このパッケージを読み込んで、５次方程式を解くと、6.38秒で 解くことができました。 ちなみに、冪根では…
可解な多項式の根を求めるプログラムを提示してきましたが、このプログラムでの5次方程式の解の計算の計算時間的なボトルネックは、原子元Vで多項式の根を表す部分にありました。 ガロアが考えた方法をほぼそのまま実装した場合、5次方程式の場合で、数時間…
多項式のガロア群を、多項式を解くことなく求めたい、ということに端を発して、最終的には、次数には関係なく可解な多項式を解くプログラムを完成するところまで、辿り着くことができました(実際には5次方程式までしか解けていませんが)。 このプログラムも…
元々は前回の記事： の続きを書くつもりだったのですが、少しだけ予定を変更して、SolveSolvable()関数での5次多項式のサポート状況を書きます。例題としては\(x^5-5\,x+12\)を使います。 前回の記事を書いてから、作ったプログラムに色々と不備(後述)が見つ…
5次方程式をこのアルゴリズムで解く試みを始めています。例題としては \(x^5-5\,x+12\) を取り上げます。この方程式は文献4： 文献 4 大迎「可解な５次方程式について」学位論文、兵庫教育大学大学院 のp74, 4.3 可解な５次方程式の解法例１の例２として取り…
2次以上4次以下の1変数多項式の根を求める汎用プログラムをリリースします。このプログラムは4つのファイルから構成されています。 SolveSolvable2.macこのファイルを読み込むと、他の３つのファイルも読み込みます。そしてプログラムのエントリーポイントと…
ようやく、かなりマシなバージョンを作ることができたので、一度リリースすることにしました。今回はどんな感じで実行できるのか、お見せします。なお、今回リリースするプログラムは４次までの多項式の根を方程式のガロア理論に従って計算します。 ファイル…
不思議なノート２ これまでの計算で４次多項式\( x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5 \)の根を求めるための全ての準備が終わりました。4つの解はVの多項式solV[1](V)〜solV[4](V)としては求まっていました。そして前回の記事で\(V\)を冪根と1の冪乗根による値を得たの…
不思議なノート 今回、第３ステップと第４ステップを実行し、Vの最小多項式の最小分解体まで拡大します。体の拡大とはリストCに冪根（と１の冪根）を付け加えることでした。この結果、Vの最小多項式を１次式に分解することができるのに必要な冪根が全て計算…
例題の多項式\( x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5 \)の組成列は、 \(NSGS=\left[ Group\left \{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 \right \} , Group\left \{1 , 4 , 5 , 8 , 9 , 12 …
スターバックス 文献3の12「体の拡大とg(x)の次数低減」まで来ました。ここで、群の縮小、体の拡大、拡大体の原始元の最小多項式を求めることは、計算上は何を意味するのでしょうか。 正規部分群\(G_{k}\)にガロア対応する体を\(F_{k}\)、 \(F_{k}\)係数のV…
かき揚げ 文献3の"11. f(x)の分解体に属する元の表記と積･商の計算"の記載の意味を考えてみました。 ちょっとだけ、既約多項式による剰余環と拡大体の同型について復習しましょう。 改訂新版 ガロア理論 作者: 関口次郎 出版社/メーカー: 丸善出版 発売日: 2…
チョコレート いよいよガロア群に対して、正規部分群を計算し、それを繰り返して組成列を計算します。 その準備として有限群をデータ構造(defstruct)として定義します。 defstruct(FiniteGroup(permutation_rep=false, degree=0, index_element_set=false, m…
British Airways lounge at BRU まずはガロア群の計算です。 ここからGG6.macをダウンロードすることが出来ます。 GG6.mac - Google ドライブ (%i1) load("GG6.mac");$$ \tag{%o0} \verb|GG6.mac| $$ 例題の多項式を変数p1に代入します。(%i1) p1:x^4+2*x^3+…
レストランのバックヤード これから数回にわたり、概ね、 文献3 「退職後は素人数学者」可解な代数方程式のガロア理論に基づいた解法 の流れに従い、方程式を冪根で解く計算をMaximaで示していきます。例題として４次多項式\( x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5 \)を…
のどかなレストラン これから数回にわたり、可解な多項式を冪根で解くアルゴリズムのMaximaでの実装について紹介します。 「ガロアの時代 ガロアの数学〈第2部〉数学篇 (シュプリンガー数学クラブ)」に掲載されているガロアの第一論文（例の決闘前夜まで修正…
この記事では有限体\(F_p\)の乗法群\(F_p^{\times}\) の指標\(\chi : F_p^{\times}\to C^{\times}\)を定義しました。 一般的には有限群の上で指標を定義できます。有限群\(G\)上の指標とは、準同型\(\chi:G\to C^{\times}\)、\(C^{\times}\)は0と異なる複素…
橋本先生の本： 探検! 数の密林・数論の迷宮 作者: 橋本喜一朗 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2017/09/27 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る には明示的には載っていないのですが、math.stackexchange.comの関連質問記事： やそのほかの記…
群論では、抽象的な群の要素を群の演算を保つように数字（複素数）に写像することがあり、この写像を指標と呼びます。指標の値は数字なので、解析的な道具（四則演算、微積、ゼータ関数の係数など）と組み合わせることで、群の性質を式に取り入れて計算した…
