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-数学- Youtubeビデオ 圏論勉強会で学んだこと(7)


第12回圏論勉強会@ワークスアプリケーションズ その1

第12回 自然変換と米田の補題

 

関手と関手の間の自然変換

関手\(F, G:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D}\)の間の自然変換\(\theta\)とは\(\theta_X:F(X)\rightarrow G(X)\)の集合で、任意の\(\mathcal{C}\)の射\(f:A\rightarrow B\)に対して下記の図が可換になるもの、をいう。\(\theta\)の要素である\(\theta_A, \theta_B\)などを\(\theta\)のA成分、B成分などという。

$$\xymatrix{
A\ar[d]^{f} \\ B
}
\xymatrix{
\ar@<-4ex>[rr]^{F,G} & &
}
\xymatrix{
F(A) \ar[r]^{\theta_A}\ar[d]^{F(f)} & G(A) \ar[d]^{G(f)}\\
F(B) \ar[r]^{\theta_B}& G(B)
}$$

この図は任意のA, Bに対して成り立つ必要がある。つまり可換図式はA,Bの性質に依らず、構成F, Gの性質として成立する必要がある。

 

シンプルな積の構成と自然変換の例
函手\(F(X)=X\times B, G(X)=X\)。

$$\xymatrix{
A\ar[d]^f \\ A'
}
\xymatrix{
\ar@<-4ex>[rr]^{F,G} & &
}
\xymatrix{
A\times B \ar[r]^{\pi_A} \ar[d]^{f \times 1}& A \ar[d]^f\\
A' \times B \ar[r]_{\pi_{A'}} & A'
}
$$

ここで\(\pi_A, \pi_A'\)は\(\pi\)のA成分、A'成分であり、等式:

$$ f \circ \pi_A = \pi_A' \circ (f \times 1) $$

を満たす。

 

自然同型と3つの対象の積と関手と自然変換

自然同型とは自然変換\(\theta\)のすべての射が同型射になっていることを言う。

例:デカルト圏で、\(A \times (B \times C) \cong (A \times B) \times C\)、かつA, B, Cのいずれに対しても自然である。すなわち:

函手\(- \times (B \times C) \)と \((- \times B) \times C\)は自然同型である。

函手\(A \times (- \times C) \)と \((A \times -) \times C\)は自然同型である。

函手\(A \times (B \times -) \)と \((A \times B) \times -\)は自然同型である。

 

3つの函手のうち、函手\(F(X)=X\times (B \times C),\, G(X)=(X \times B) \times C\)を考えて、その自然同型の可換図式を描くと、

$$\xymatrix{
A \ar[d]^f \\ A'
}
\xymatrix{
\ar@<-4ex>[rr]^{F,G} & &
}
\xymatrix{
A\times (B\times C) \ar[r]^{\theta_A} \ar[d]^{f\times (1 \times 1)} & (A\times B) \times C \ar[d]^{(f \times 1) \times 1} \\
A'\times (B\times C) \ar[r]_{\theta_{A'}} & (A' \times B) \times C
}
$$

ここで積の結合順序を変える射の集合\(\theta\)は\(\theta_A, \theta_{A'}\)を成分とする自然同型になっている。

 

函手圏:圏Cと圏Dを固定して、圏Cから圏Dへの函手F,G,H等を対象として、函手の間の自然変換\( \tau,\, \sigma \)等を射とする圏をD^Cと表す。
$$
\begin{array}{c}
\mathcal{C}=
\xymatrix{
A\ar[d]_f \\
B} \\
\mathcal{D^C}=
\xymatrix{
 & \ar@{~>}[ddl]_{F} & & \ar@{~>}[dd]^G & & \ar@{~>}[ddr]^H & \\
 & \ar@{.>}[r]^{\tau} & & & \ar@{.>}[r]^{\sigma} &  & \\
& & & & & &
} \\
\mathcal{D}=
\xymatrix{
F(A) \ar[rrr]^{\tau_A} \ar[d]^{F(f)} & & & G(A) \ar[rrr]^{\sigma_A} \ar[d]^{G(f)} & & & H(A) \ar[d]^{H(f)} \\
F(B) \ar[rrr]_{\tau_B} & & & G(B) \ar[rrr]_{\sigma_B} & & & H(B)
}
\end{array}
$$

 

函手圏のHom集合

函手圏\(\mathcal{D^C}\)における\(Hom(F,G)\)は自然変換:

$$\theta : F \rightarrow G $$

の集合。新しい記号を導入する。

$$ Nat(F,G)=Hom_{\mathcal{D^C}}(F,G) $$

 

米田の補題:\(\mathcal{C}\)を圏とする。\(\mathcal{C}\)の任意の対象\(X\)と、函手\(F : \mathcal{C}^{op} \rightarrow \mathcal{Sets}\)に対して、

$$ Nat(Hom_{\mathcal{C}}(-,X),F) \cong F(X) $$

さらにこの同型は\(X, F\)について自然である。