米田の補題の理解に向けて、反変函手、反変Hom函手を復習します。
反変函手とは圏\(\mathcal{C}\)から\(\mathcal{D}\)への対応\(F\)で、任意の\(\mathcal{C}\)の対象\(A, B\)と射\(f:A\rightarrow B\)に対して、\(F(A), F(B)\)が\(\mathcal{D}\) の対象となり、また\(\mathcal{D}\)の射\(F(f):F(B)\rightarrow F(A)\)が次の条件を満たすことである：
- \(f\)が\(A\)の恒等射であれば、\(F(f)\)は\(F(A)\)の恒等射。
- \(f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C\)が圏\(\mathcal{C}\)の射とすれば、\(F(f):F(B)\rightarrow F(A), F(g):F(C)\rightarrow F(B)\)は圏\(\mathcal{D}\)の射で、\(F(f)\circ F(g)=F(g\circ f)\)が成立する。
圏\(\mathcal{D}\)で射\(F(f):F(A)\rightarrow F(B)\)が存在することは、双対圏\(\mathcal{D^{op}}\)で射\(F(f):F(B)\rightarrow F(A)\)が存在することの必要十分条件である。
従って反変函手の2つ目の条件は次のようになる。
- \(f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C\)が圏\(\mathcal{C}\)の射とすれば、\(F(f):F(A)\rightarrow F(B), F(g):F(B)\rightarrow F(C)\)は圏\(\mathcal{D^{op}}\)の射で、\(F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)\)が成立する。
反変Hom函手とは圏\(\mathcal{C}\)の対象\(X\)を固定して、任意の対象\(A\)を圏\(\mathcal{Sets}\)の対象\(Hom_C(A,X)\)に移す函手である。この函手は\(\mathcal{C^{op}}\)の射\(f^{op}:B\rightarrow A\)を、\(f^{op}\)を右から合成する写像\(F(f^{op})(-)=- \circ f^{op}\)に移す。反変Hom函手はしばしば\(Hom_C(-,X)\)と記述する。
写像\(F(f^{op})\)を\(Hom_C(A,X)\)の要素に適用すると全て\(Hom_C(B,X)\)の要素に移ることに注意する。
と言うようなことを思い出した上で、米田の補題を再掲します。
米田の補題：\(\mathcal{C}\)を圏とする。\(\mathcal{C}\)の任意の対象\(X\)と、函手\(F : \mathcal{C}^{op} \rightarrow \mathcal{Sets}\)に対して、
$$ Nat(Hom_{\mathcal{C}}(-,X),F) \cong F(X) $$
さらにこの同型は\(X, F\)について自然である。
つまり、\(X\)に対する反変Hom函手と函手\(F\)の間の自然変換は函手\(F\)による\(X\)の行き先と同型、であり、かつ、\(X, F\)に関するある可換図式が成立する（自然である）、と言うことを意味する。\(F\)について自然とは、任意の自然変換\(\theta:F\rightarrow G\)について次の図式が可換となることである。
$$\xymatrix{
Nat(Hom_{\mathcal{C}}(-,X),F) \ar[d]_{Hom_{\mathcal{Sets^{C^op}}}(Hom(-,X),\theta)} \ar[r] & F(X) \ar[d]^{\theta_X}\\
Nat(Hom_{\mathcal{C}}(-,X),G) \ar[r] & G(X)
}$$
\(X\)について自然とは、任意の射\(f:X\rightarrow Y\)に対して次の図式が可換となることである。
$$\xymatrix{
Nat(Hom_{\mathcal{C}}(-,Y),F) \ar[d]_{Hom_{\mathcal{Sets^{C^op}}}(Hom(-,f),F)} \ar[r] & F(Y) \ar[d]^{F(f)}\\
Nat(Hom_{\mathcal{C}}(-,X),F) \ar[r] & F(X)
}$$
米田の補題で、\(F\)として適当なHom函手をとると興味深い。例えば、\(F=Hom_{\mathcal{C}}(-, Y)\)として代入すると、
$$Nat(Hom_C(-,X),Hom_C(-,Y) \cong Hom_C(X,Y)$$
が導かれる。
上記等式から次のことが導かれる。これは米田の原理と呼ばれている。
$$ Hom(-,A) \cong Hom(-,B) \implies A\cong B $$
この米田の原理を使うとデカルト閉圏での様々な公式が簡単に示せる、という話を、
で紹介しています。 上記記事ではデカルト閉圏での分配法則を証明しています。もう一度記事を見直すと、式変形をカリー化、逆カリー化などを使って計算し、最後に米田の原理を使って同型を示しています。
このことから、圏\(C\)の対象\(A\)に対してHom函手\(Hom(-,A)\)を対応させることが重要である。この対応も函手であり、
$$ Hom_C(-,A):C\rightarrow \mathcal{Sets^{C^{op}}} $$
とかける。この函手を米田埋め込みと呼ぶ。
米田埋め込みを使えば、任意の圏\(C\)を圏\(\mathcal{Sets^{C^{op}}}\)に移して議論を行える。この圏はデカルト圏となり、積や指数対象があることから、様々議論がし易いとのこと。この圏は、「層」と呼ばれる。あの本の「層」なのだそうです。
