前回記事で紹介した留数の定義を復習してから留数定理を述べます。
留数の定義：関数$f$のローラン展開を
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-c)^n + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-c)^n},\, z\in A(c;R_1,R_2)$$
$$ a_n=\frac1{2\pi\,i}\int_{|z-c|=r}\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz\,,(n\in \mathbb{Z})$$
として、$a_{-1}$を$f$の$c$における留数とよび$Res(f;c)$で表す。
留数定理：領域$K$において１点$c\in K$を除いて正則な関数$f$について次式で$c$での留数を求めることができる。ただし積分路$C$は中心$c$で領域$K$に含まれる円の円周とする。
$$Res(f;c)=\frac1{2\pi\,i}\int_{C}f(z)dz$$
証明はローラン展開を積分路$C$上で項別積分していくことになります。まず積分路$C$を含みかつ$K$に含まれる、中心$c$の円環領域の閉包を考えるとそこでローラン展開は一様収束します。従ってそこに含まれる積分路$C$上でも一様収束します。したがって項別積分が可能です。ローラン展開を少しバラして以下のように変形し項別積分します。
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-c)^n + \frac{a_{-1}}{z-c} + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-c)^n}$$
$$\int_C f(z) dz=\int_C \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-c)^n dz + \int_C \frac{a_{-1}}{z-c} dz+ \sum_{n=2}^{\infty} a_{-n} \int_C \frac1{(z-c)^n} dz$$
右辺の第１項は冪級数で正則ですから$\int_{C}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-c)^n=0$です。また以前の記事で２番目の項の積分は計算し$\int_{C}\frac{a_{-1}}{z-c}dz=2\pi\,i\,a_{-1}$です。最後の項の積分は総和記号の内側の積分が全て$0$になります。従って$\int_{C}f(z)dz=0+2\pi\,i\,a_{-1}+0=2\pi\,i\,a_{-1}=2\pi\,i\,Res(f;c)$より
$$Res(f;c)=\frac1{2\pi\,i}\int_{C}f(z)dz$$
が得られます。
ちなみに最後の項の総和の内側の積分計算はこんな感じです。$n\gt 1$とします。
$\int_C \frac1{(z-c)^n}dz$で$z-c=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$と置換すると両辺を$\theta$で微分すると$\frac{dz}{d\theta}=r(-\sin(\theta)+i\cos(\theta))=i(z-c)$。よって、
$$\int_C \frac1{(z-c)^n}dz=\int_C \frac1{(z-c)^{n-1}}\frac1{z-c}dz=i\int_0^{2\pi} \frac1{r^{n-1}(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^{n-1}}d\theta$$
$$=\frac{i}{r^{n-1}} \int_0^{2\pi} \frac1{\cos( (n-1)\theta)+i\sin( (n-1)\theta)}d\theta$$
$$=\frac{i}{r^{n-1}} \int_0^{2\pi} \cos( (n-1)\theta)-i\sin( (n-1)\theta)d\theta=0$$
留数定理を用いた積分計算の例を１つだけやってみましょう。
$$\int_{|z|=2}\frac{\cos z}{z}dz$$
$$\frac{\cos z}{z}=\frac1{z}\left(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}\cdots\right)=\left(\frac1{z}-\frac{z}{2!}+\frac{z^3}{4!}-\frac{z^5}{6!}\cdots\right)$$
従って留数$a_{-1}=1$となります。留数定理を使うと
$$\frac1{2\pi\,i}\int_{|z|=2}\frac{\cos z}{z}dz=1$$
よって、
$$\int_{|z|=2}\frac{\cos z}{z}dz=2\pi\,i$$
