このブログでは過去にリーマンのゼータ関数については色々と取り上げてきました。一方その複素解析的な話はいつもちょっと傍に置いてました。
今回は複素関数論シリーズの最後にリーマンのゼータ関数の複素解析的な部分について基本的な定理を並べていきます。今までと同じレベルで証明していくと結構大変なので定理を正確に理解する＋証明の方針、というレベルの話です。
リーマンのゼータ関数の定義：$s\in \mathbb{R}, s\gt 1$に対してリーマンのゼータ関数$\zeta(s)$を以下の級数で定義する。
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}$$
命題A ゼータ関数は$s\gt 1$で収束する。
証明は比較的簡単です。級数による定義と$\int \frac1{x^s}dx$を比較することで収束を示すことが出来ます。
命題B ゼータ関数は領域$Re(s)\gt 1$で正則関数に解析接続する。
この証明は少し手間がかかります。級数による定義がこの領域で絶対収束することを示します。$|n^s|=n^{Re(s)}$を使えばここはほぼ自明です。
次にこの級数がこの領域で一様収束することを示します。一様性を示すために和が$s$に寄らない形で抑えられることを示す必要があります。$s_0$をこの領域の任意の点として、$\{s\in \mathbb{C} | Re(s_0)\le Re(s)\}$での$|\zeta(s)|$の最大値は$\zeta(Re(s_0))$であることから導くことが出来ます。
最後に部分和がそれぞれ正則であることから収束先はこの領域で正則関数であることが分かります。
定理C ゼータ関数は$\mathbb{C}$上の有理型関数に解析接続し、その極は$s=1$のみにあり位数$1$である。
こちらは当然命題Bを含むのですが、証明方法は全く異なります。過去の記事でゼータ関数をオイラーマクローリン総和公式で展開し、複素平面の左反面に解析接続を広げる方法の説明を書きました。
任意の自然数$M$について$Re(s)\gt -M$の範囲で成立する展開式をオイラーマクローリン総和公式で作成します。
例えば$M=3$とすると展開式は次の通りです。
$$\zeta\left(s\right)=\lim_{N\to \infty }\left({-\frac{N^{-s-3}\,s\,\left(s+1\right)\,\left(s+2\right)}{720}+\frac{N^{-s-1}\,s}{12}+\frac{N^{1-s}}{s-1}-\frac{1}{2\,N^{s}}+\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{n^{s}}}}\right)$$
この展開式がこの範囲で収束し極を除いて正則であることを示すことが出来ます。極限を取る前の式を$F_N(s)$と定義して$F_N(s)$がこの範囲で一様収束することを示します。また$F_N(s)$は任意の$N$で$1$位の極を$s=1$にもつことから、それらが収束極限関数に引き継がれることを示すことが出来ます。そうしてこの展開式がその範囲で極が$1$のみにあり位数が$1$であることを示せます。
このようにして$Re(s)\gt -M$の範囲での有理型関数への解析接続が得られることが分かりました。$M$は任意の自然数なので左半面にいくらでも広げることができ、結局$\mathbb{C}$上の有理型関数に解析接続しその極は$s=1$のみにあり位数$1$であることが分かりました。
最後の定理Cについては、まずゼータ関数の関数等式を証明し、それを用いて解析接続や極を求めることが出来ます。数論をきちんと勉強される場合は、関数等式の証明から行くのが良いのかもしれません。その証明は柳田氏の講義資料にも載っていますのでご参照ください。
これで複素関数論シリーズは終了です。
