-数学- 超幾何関数

ここ最近超幾何関数の勉強を少しずつしています。切っ掛けは、

数理科学 2020年 08 月号 [雑誌]

こちらの号に掲載されていた平田典子氏の記事：

　ラマヌジャンと円周率近似公式

に触発されてです。ラマヌジャンが\(\frac{1}{\pi}\)を求める公式を数多く求めていたことは以前のこのブログの記事：で書きました。平田氏の記事によれば超幾何関数の性質にアイゼンシュタイン級数の変換公式を組み合わせるとこれらの式が証明できると書かれています。そうであるならばまずは超幾何関数を勉強してみたいものです。

Maximaには超幾何関数が実装されており、その辺も使いながらまずは超幾何関数の基本を勉強して記事にしていきたいと思います。超幾何関数は簡単なものでも4つのパラメータを持ち、それらのパラメータに特定の値や式を代入することで非常に広範囲の関数を表現することができます。今回はその例としてコサイン関数\(\cos z\)が実は超幾何関数で表現できることを見てみます。