\(Q\)の拡大\(Q(\sqrt{2},\sqrt{3})\)のガロア群\(Gal(Q(\sqrt{2},\sqrt{3}))\)の要素である自己同型写像を１つ取り(\(\sigma\)とする)、その写像による\(\sqrt{2}\)及び\(\sqrt{3}\)の行き先である\(\sigma(\sqrt{2})及び\sigma(\sqrt{3})\)を計算してみました。
σについて分かっていることは、和のσはσの和（加法的）、積のσはσの積（乗法的）、有理数のσは変化しない、そしてこれらの結果として、σの二乗は二乗のσです。これらをMaximaの宣言とルールで実装したのが、以下の(%i1)〜(%i5)です。
(%i1) declare(sigma,additive)$
(%i2) declare(sigma,multiplicative)$
(%i3) matchdeclare(x,ratnump)$
(%i4) tellsimpafter(sigma(x),x)$
(%i5) tellsimpafter(sigma(sqrt(x))^2,x)$
ではこのσを使って計算をしましょう。まずは\(\sqrt{2}\)のσによる行き先\(\sigma(\sqrt{2})\)を計算してみます。前回の記事より\(Q(\sqrt{2},\sqrt{3})\)の元は全て、\(a+b\,\sqrt{2}+c\,\sqrt{3}+d\,\sqrt{6},\, a,b,c,d \in Q\)とかけるので、\(\sigma(\sqrt{2})\)と等しいと置いて\(a,\,b,\,c,\,d\)の値を求めてみます。
(%i6) sigma(sqrt(2))=a+b*sqrt(2)+c*sqrt(3)+d*sqrt(6);
$$ \tag{${\it \%o}_{6}$}\sigma\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{6}\,d+\sqrt{3}\,c+\sqrt{2}\,b+a $$
両辺を二乗して展開します。
(%i7) %^2,expand;
$$ \tag{${\it \%o}_{7}$}2=6\,d^2+2\,\sqrt{3}\,\sqrt{6}\,c\,d+2^{\frac{3}{2}}\,\sqrt{6}\,b\,d+2\,\sqrt{6}\,a\,d+3\,c^2+2^{\frac{3}{2}}\,\sqrt{3}\,b\,c+2\,\sqrt{3}\,a\,c+2\,b^2+2^{\frac{3}{2}}\,a\,b+a^2 $$
両辺が等しいこと、\(\sqrt{2}, \sqrt{3}\)が独立であることから両辺の係数を比較して次の連立方程式を得ます。
(%i8) solve([2=6*d^2+3*c^2+2*b^2+a^2,c*d=0,b*d=0,a*d=0,b*c=0,a*c=0,a*b=0],[a,b,c,d]);
$$ \tag{${\it \%o}_{8}$}\left[ \left[ a=-\sqrt{2} , b=0 , c=0 , d=0 \right] , \left[ a=\sqrt{2} , b=0 , c=0 , d=0 \right] , \left[ a=0 , b=0 , c=0 , d=-\frac{1}{\sqrt{3}} \right] , \left[ a=0 , b=0 , c=0 , d=\frac{1}{\sqrt{3}} \right] , \left[ a=0 , b=0 , c=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} , d=0 \right] , \left[ a=0 , b=0 , c=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} , d=0 \right] , \left[ a=0 , b=-1 , c=0 , d=0 \right] , \left[ a=0 , b=1 , c=0 , d=0 \right] \right] $$
解としては４つ求まりました。この中で\(a,b,c,d \in Q\)の条件を見たのすのは、最後の２つだけです。それらをまとめて\(a=c=d=0, b=\pm 1\)がわかります。これを(%o6)に代入すれば\(\sigma\left(\sqrt{2}\right)=\pm\sqrt{2}\)が分かります。
同様の計算を\(\sqrt{3}\)に対して行ってみます。
(%i9) sigma(sqrt(3))=a+b*sqrt(2)+c*sqrt(3)+d*sqrt(6);
$$ \tag{${\it \%o}_{9}$}\sigma\left(\sqrt{3}\right)=\sqrt{6}\,d+\sqrt{3}\,c+\sqrt{2}\,b+a $$
(%i10) %^2,expand;
$$ \tag{${\it \%o}_{10}$}3=6\,d^2+2\,\sqrt{3}\,\sqrt{6}\,c\,d+2^{\frac{3}{2}}\,\sqrt{6}\,b\,d+2\,\sqrt{6}\,a\,d+3\,c^2+2^{\frac{3}{2}}\,\sqrt{3}\,b\,c+2\,\sqrt{3}\,a\,c+2\,b^2+2^{\frac{3}{2}}\,a\,b+a^2 $$
(%i11) solve([3=6*d^2+3*c^2+2*b^2+a^2,c*d=0,b*d=0,a*d=0,b*c=0,a*c=0,a*b=0],[a,b,c,d]);
$$ \tag{${\it \%o}_{11}$}\left[ \left[ a=-\sqrt{3} , b=0 , c=0 , d=0 \right] , \left[ a=\sqrt{3} , b=0 , c=0 , d=0 \right] , \left[ a=0 , b=0 , c=0 , d=-\frac{1}{\sqrt{2}} \right] , \left[ a=0 , b=0 , c=0 , d=\frac{1}{\sqrt{2}} \right] , \left[ a=0 , b=0 , c=-1 , d=0 \right] , \left[ a=0 , b=0 , c=1 , d=0 \right] , \left[ a=0 , b=-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} , c=0 , d=0 \right] , \left[ a=0 , b=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} , c=0 , d=0 \right] \right] $$
この中で\(a,b,c,d \in Q\)の条件を見たのすのは、５番目と６番目だけです。それらをまとめて\(a=b=d=0, c=\pm 1\)がわかります。これを(%o9)に代入すれば\(\sigma\left(\sqrt{3}\right)=\pm\sqrt{3}\)が分かります。
