今回は柳田氏の講義録を参考にしています。とても分かりやすく助かっています。
ガンマ関数の解析接続の定理１：ガンマ関数は複素数平面の右半平面$\mathbb{H}_r=\{s\in\mathbb{C} | Re(s)\gt 0\}$で定義された正則関数に解析接続できる。その表示式は正の実数上の定義式と同じである。
$$\Gamma(s)=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{s-1}dt$$
証明はまず収束を示したのちに正則性を示します。
この定義を明確にするためには複素数を指数とする冪乗の定義が必要ですが、ちょっと省略して以下の事実だけを使うことにします。$t$を実数、$s$を複素数として$|t^{s-1}|$=$t^{Re(s)-1}$。すると$|e^{-t}t^{s-1}|=e^{-t}t^{Re(s)-1}$より
$$|\Gamma(s)|=\left| \int_0^{\infty}e^{-t}t^{s-1}dt \right| \le \int_0^{\infty}|e^{-t}t^{s-1}|dt$$ $$=\int_0^{\infty}|e^{-t}t^{Re(s)-1}|dt=\Gamma(Re(s))$$
となりガンマ関数の収束性が分かりました。
次に$\mathbb{H}_r$での正則性を示します。任意の実数$m,M$で$ 0\lt m \lt M \lt \infty$とすると、領域$S_{m,M}=\{s|m\lt Re(s) \lt M\}$で正則であることが示せば十分です。$n\in\mathbb{N}$として広義積分の定義から
$$F_n(s)=\int_{\frac1{n}}^n e^{-t}t^{s-1} dt $$
とすると$\Gamma(s)=\lim_{n\to\infty}F_n(s)$となります。前回証明した正則な積分関数の定理から各$F_n$は正則です。そこで関数列$\{F_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が$\Gamma$に$S_{m,M}$で一様収束することを示せば正則な関数列の定理から証明は終了します。
$$\Gamma(s)=\int_0^{\frac1{n}}e^{-t}t^{s-1}dt + F_n(s) + \int_n^{\infty}e^{-t}t^{s-1}dt$$
より
$$|\Gamma(s)-F_n(s)| \le \int_0^{\frac1{n}}e^{-t}t^{Re(s)-1}dt + \int_n^{\infty}e^{-t}t^{Re(s)-1}dt$$
最初の積分では$\frac1{n}\le 1, 0\le t \le \frac1{n} \le 1$より$e^{-t}<1$なので、
$$\int_0^{\frac1{n}}e^{-t}t^{Re(s)-1}dt\le \int_0^{\frac1{n}}t^{Re(s)-1}dt$$
$m\le Re(s)$なので、
$$\int_0^{\frac1{n}}t^{Re(s)-1}dt \le \int_0^{\frac1{n}}t^{m-1}dt=\left[\frac{t^m}{m}\right]_0^{\frac1{n}}=\frac1{m\cdot n^m} $$
２番目の積分では$1\le n \le t \lt \infty, Re(s)\lt M$から、
$$\int_n^{\infty}e^{-t}t^{Re(s)-1}dt \le \int_n^{\infty}e^{-t}t^{M-1}dt$$
$\lim_{t\to\infty} t^2\cdot e^{-t}t^{M-1}=0$から$M$に依存するある定数$C_M$があって$C_M\le t$で$t^2\cdot e^{-t}t^{M-1}\le1$です。従って$C_M\le n$と$n$を取れば、
$$ \int_n^{\infty}e^{-t}t^{M-1}dt \le \int_n^{\infty} \frac1{t^2}dt=\frac1{n}$$
まとめると
$$|\Gamma(s)-F_n(s)| \le \int_0^{\frac1{n}}e^{-t}t^{Re(s)-1}dt + \int_n^{\infty}e^{-t}t^{Re(s)-1}dt \le \frac1{m\cdot n^m}+\frac1{n} \to 0 \,, (n\to\infty)$$
