パピヨンの仔犬!!
ちょっと調べ物をしていたらokwaveという調べ物サイトに面白い記事がありました。
タクシー数：２つの正の３乗数（立方数ともいう）の和として２通りに表すことが出来る最小の整数。具体的には1729。
ラマヌジャンのタクシー数とは1729のことで、この数は$$1729 = 12^3+1^3 = 10^3+9^3$$と２つの３乗数の和として２通りに表すことができる最小の整数です。ラマヌジャンとハーディの逸話やこの数の命名の由来についてはネット検索で色々と出てきますのでここでは触れません。
okwaveの質問返答は、ラマヌジャンのタクシー数を母関数を使って求める方法についてでした。\( ( \sum_{n=1}^{\infty} x^{n^3})^2 \)を級数展開するとその係数に、次数の数を２つの３乗数の和で表す通りの数が現れる、ということ、２が係数になるのは次数が1729が最小で、これがラマヌジャンのタクシー数であること、などが説明されています。
母関数の分かり易い応用例だし、Maximaで簡単に計算できる、と考えてやってみると、、、okwaveの質問返答とは異なる結果でびっくり。下のノートブックのOut[4]を見ると分かるのですが、2が係数となる最小の次数は9ですし、タクシー数1729を次数とする項の係数は４です。
これはこの母関数の計算から、タクシー数1729は\(1729=12^3+1^3=10^3+9^3\)という２通りだけでなく、\(1729=1^3+12^3=9^3+10^3\)という２通りも区別して考える必要があり、合わせて４通りあることから係数が4になります。また9は、\(9=2^3+1^3=1^3+2^3\)と、ひっくり返しを含めて２通りの方法で表せることから。係数は2になります。
ちなみに1729が最小性を満たすことはOut[4]を見ることで証明されます。次数が1729よりも小さい項で、係数が4以上の項はありません。これで証明終了です。
okwaveの質問返答からは外れますが、この母関数を使えば、２つの３乗数の和として３通り（ひっくり返しを含めれば６通り）の方法で表すことができる最小の数も求められそうです。それをやってみたのが、下記のノートブックです。
