-数学- 楕円モジュラー関数／j不変量 (4) ヒルベルト類多項式を求める

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共通の判別式$D$を持つ簡約虚２次無理数を全て求めることが出来れば、ヒルベルト類多項式を求めるのはあと一歩です。まずヒルベルト類多項式の定義を見てみましょう。

$$P_{D}(x)=\prod_{i=1}^{h_{D}}{\left(x-j\left(a_{i}\right)\right)}$$

$a_i,\, i=1\cdots h_D$は判別式Dを持つ全ての簡約虚２次無理数を表します。

見てすぐ分かることは、この多項式は次数が$h_D$で根が$j(a_i)$です。

また別途証明が必要なことですが、$P_{D}(x)$は係数が全て整数です。これ、超重要です。

判別式$D$が与えられた時に、対応する$P_{D}(x)$を近似的に計算するための道具は全て揃っています。

やってみましょう。

(%i1) install_github("YasuakiHonda","modular_j","main")$

(%i2) asdf_load("modular_j")$

判別式として$-15$を選んでみます。
(%i6) a:FindReducedQuadIrrD(-15);

$$ \tag{${\it \%o}_{6}$}\left[ \frac{\sqrt{15}\,i-1}{4} , \frac{\sqrt{15}\,i-1}{2} \right] $$

２つの簡約虚２次無理数がもとまりました。
(%i7) FindClassNumberD(-15);

$$ \tag{${\it \%o}_{7}$}2 $$

類数は２です。

次にヒルベルト類多項式の定義式の各部分を計算に必要な値／式に置き換えます。
(%i8) aproxpoly:expand(product(x-float_modular_j(a[i]),i,1,2));

$$ \tag{${\it \%o}_{8}$}x^2-1.70530256582424 \times 10^{-13}\,i\,x+191025.0\,x-3.268345941408153 \times 10^{-8}\,i-1.21287375 \times 10^{+8} $$

近似的な多項式が求まりました。本来この多項式は整数のはずですから、各係数を最も近い整数点に丸めましょう。

(%i27) (cround(z):=round(realpart(z))+round(imagpart(z)), cround(coeff(aproxpoly,x,1)));

$$ \tag{${\it \%o}_{27}$}191025 $$
(%i28) cround(coeff(aproxpoly,x,0));

$$ \tag{${\it \%o}_{28}$}-121287375 $$

という訳で次の式が$D=-15$のヒルベルト類多項式です。
(%i29) x^2+%th(2)*x+%th(1);

$$ \tag{${\it \%o}_{29}$}x^2+191025\,x-121287375 $$

APIとして用意されている関数FindClassPolyD() を使って判別式が-15のヒルベルト類多項式を求めると次のようになります。
(%i30) FindClassPolyD(x,-15);

$$ \tag{${\it \%o}_{30}$}x^2+191025\,x-121287375 $$

当たり前ですが、(%o29)と(%o30)は一致しました。

数値計算による近似で多項式を近似的に求め、整数係数であることから正確な多項式を求める、というのは以前方程式のガロア群を求めた際にehitoさんから教えて頂いたやり方と同じです。

この近似計算も含めて上記の計算については

のp260〜p262に記載されており、参考にしました。

またtsujimotterさんのブログ記事：

の前半にもこの計算方法が掲載されています。こちらも分かりやすく参考になりました。

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