この記事のコードをJupyter notebook形式で見るにはこちら。
数年前に虚2次無理数、判別式、モジュラー変換、基本領域などの記事を書きました。
この続きのような内容になります。またInFD(), FindInFD()は当時作った関数達です。
当時分からなかったのは、「同じ判別式を持つ対等でない虚2次無理数を全て列挙するアルゴリズムがある」ということでした。今回の記事で新しいのはその部分です。
maxima-asdfを導入済みなら以下の(%i1), (%i2)でダウンロード＆読み込みが完了します。導入済みでなければ、githubからmodular_j.macをダウンロード＆保存して、load("modular_j.mac");で読み込んでください。
(%i1) install_github("YasuakiHonda","modular_j","main")$
(%i2) asdf_load("modular_j")$
早速試してみましょう。
(%i15) a:(1+sqrt(-35))/6;
$$ \tag{${\it \%o}_{15}$}\frac{\sqrt{35}\,i+1}{6} $$
この虚2次無理数と対等で、かつ基本領域にある虚2次無理数（簡約虚2次無理数とも呼ばれるようです）をFindInFD()を使って求めます。
(%i16) FindInFD(a);
$$ \tag{${\it \%o}_{16}$}\frac{\sqrt{35}\,i-1}{6} $$
適当にモジュラー変換を定義してみます(%o17)。\(3\times2-5\times1=1\)ですから\(f(x)\)は確かにモジュラー変換です。\(\frac{a\,x+b}{c\,x+d}\)が\(a,b,c,d \in Z\)で\(a\,d-b\,c=1\)であるような\(a,b,c,d\)を適当に選んだのです。
(%i17) f(x):=(3*x+5)/(1*x+2);
$$ \tag{${\it \%o}_{17}$}f\left(x\right):=\frac{3\,x+5}{1\,x+2} $$
このモジュラー変換で、(%o15)で定義した\(a=\frac{\sqrt{35}\,i+1}{6}\)を変換してみます。
(%i18) f(a),ratsimp,algebraic:true;
$$ \tag{${\it \%o}_{18}$}\frac{\sqrt{35}\,i+89}{34} $$
この変換により得られた(%o18)は元の\(a\)と対等ですが、基本領域の中にはありません。確認しましょう。
(%i19) InFD(%);
$$ \tag{${\it \%o}_{19}$}\mathbf{false} $$
\(f(a)\)と対等な基本領域の中の虚２次無理数を求めてみます(%o16)と一致するはずです。
(%i20) FindInFD(f(a));
\Ta: \(3\)
\S
\Ta: \(2\)
$$ \tag{${\it \%o}_{20}$}\frac{\sqrt{35}\,i-1}{6} $$
確かに(%o16)と一致します。
次に\(a=\frac{\sqrt{35}\,i+1}{6}\)の判別式を求めてみます。
(%i21) FindDetIrr(a);
$$ \tag{${\it \%o}_{21}$}-35 $$
このFindDetIrr()という関数は実装は単純です。\(\frac{a+b\,\sqrt{c}}{d}\)が2次方程式\(d^2\,x^2+2\,a\,d\,x+a^2-b\,c^2=0\)の解です。３つの係数の最大公約数で割ってから2次方程式の判別式を求めるだけですね。
判別式-35を持つ簡約虚2次無理数を全て求めてみます。
(%i22) FindReducedQuadIrrD(-35);
$$ \tag{${\it \%o}_{22}$}\left[ \frac{\sqrt{35}\,i-1}{6} , \frac{\sqrt{35}\,i-1}{2} \right] $$
(%o16)が含まれていることを確認してください。これらの２つの数が基本領域に含まれていることも確認しましょう。
(%i23) map(InFD,%);
$$ \tag{${\it \%o}_{23}$}\left[ \mathbf{true} , \mathbf{true} \right] $$
虚２次無理数の類数は、同じ判別式を持つ簡約虚２次無理数の個数、として定義されます。つまり(%o22)のリストの長さです！
(%i24) FindClassNumberD(-35);
$$ \tag{${\it \%o}_{24}$}2 $$
FindReducedQuadIrrD()は、tsujimotterさんのブログ記事：
を参考にして実装しています。正定値２次形式と虚２次無理数（と2次体のイデアル類）は対応がつくので、アルゴリズムも同じものが使えるのです。判別式Dに対して上記記事で求めた正定値２次形式のreduced formと、簡約虚２次無理数が１対１対応します。
ちなみに山本先生の本：
では簡約虚２次無理数と２次体のイデアル類の関係が第8章楕円モジュラー関数の章に書いてあり、２次体のイデアル類の求め方が第6章２次体の整数論の章に書いてあります。私のような初学者には両方を結びつけて、簡約虚２次無理数を求めるのは、難しいです。一方、簡約虚２次無理数と正定値２次形式の対応はほとんど自明なので、tsujimotterさんの記事内容を利用させて頂きました。
