犬鍋
お久しぶりでございます。
あまりに久しぶりの記事です。数学も久しぶりで、リハビリを兼ねてこちらの本を読んでいます。
この本の第8章「楕円モジュラー関数」です。この章の最初の話題が2次無理数です。整数係数の既約な2次方程式の根を2次無理数というそうです。2次無理数αにそのもととなる2次方程式の判別式を対応させる関数D(α)を考えます。
するとD(α)には保型性があること(D(α)=D(α+1)=D(-α)=D(1/α))を示せ、というのが最初の問題です。
これ、実は初めて知りました。早速具体例で確認してみます。
(%i1) DetEq(eq,v):=block([v2,v1,v0],v2:coeff(eq,v,2),v1:coeff(eq,v,1),v0:coeff(eq,v,0),v1^2-4*v2*v0);
$$ \tag{%o1} \mathrm{DetEq}\left(\mathrm{eq} , v\right):=\mathbf{block}\;\left(\left[ \mathrm{v2} , \mathrm{v1} , \mathrm{v0} \right] , \mathrm{v2}:\mathrm{coeff}\left(\mathrm{eq} , v , 2\right) , \mathrm{v1}:\mathrm{coeff}\left(\mathrm{eq} , v , 1\right) , \mathrm{v0}:\mathrm{coeff}\left(\mathrm{eq} , v , 0\right) , \mathrm{v1}^2-4\,\mathrm{v2}\,\mathrm{v0}\right) $$
DetEq(eq,v)は変数vの2次式eqからその判別式を計算します。以下適当に既約な2次式を選びAとします。
(%i2) A:x^2+3*x+7;
$$ \tag{%o2} x^2+3\,x+7 $$
とりあえず、この式の根を求めます。
(%i3) solve(A,x);
$$ \tag{%o3} \left[ x=-\frac{3+\sqrt{19}\,i}{2} , x=\frac{\sqrt{19}\,i-3}{2} \right] $$
先ほど定義したDetEq()を使って、この2次式Aの判別式を計算してみます。
(%i4) DetEq(A,x);
$$ \tag{%o4} -19 $$
ではAの根に1足した数を根とする２次式を求め、その判別式を計算します。
(%i5) A,x:x-1,expand;
$$ \tag{%o5} x^2+x+5 $$
(%i6) DetEq(%,x);
$$ \tag{%o6} -19 $$
さらにAの根の逆数を根とする２次式を求め、その判別式を計算します。
(%i7) A,x:1/x,expand;
$$ \tag{%o7} \frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}+7 $$
(%i8) %*x^2,expand;
$$ \tag{%o8} 7\,x^2+3\,x+1 $$
(%i9) DetEq(%,x);
$$ \tag{%o9} -19 $$
符号を反転させた場合も同様に出来ます。
いずれの場合も判別式の値は-19となり確かに保型性が成り立っています。
証明は次回にしましょう。
