東京駅ライトアップ
アイゼンシュタイン級数はいろいろな形で数論と結びついています。すでに見たように、m,nが(0,0)を除くすべての整数を走る、代わりにm,nが互いに素なすべての整数を走るように変形することができ、その時にはゼータ関数が括り出されます。
ここではそれとは少し違った形で整数論的関数と関係することを見ます。
Maximaの関数divsum(n,k)はnの約数のk乗の和です。例えばdivsum(6,2)は \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + 6^2 = 50\) となります。通常 \( \sigma_{k}(n) \) という記号で表します。
準備としてtexput()でMaximaのdivsum()がシグマ記号を使って出力されるように設定します。
(%i1) texput(divsum,lambda([e],block([num,index],
[num,index]:args(e),
concat("\\sigma_{",tex1(index),"}(",num,")"))))$
さて、重さkのアイゼンシュタイン級数について以下の式が成り立ちます。
(%i2) lsum(1/(m*z+n)^k, mn,Z^2)=2*zeta(k)+2*(2*%pi*%i)^k/(k-1)!*sum(divsum(n,k-1)*q^n,n,1,inf);
$$ \tag{%o2} \sum_{\mathrm{mn}\in{Z^2}}{\frac{1}{\left(m\,z+n\right)^{k}}}=\frac{\left(-1\right)^{\frac{k}{2}}\,\pi^{k}\,2^{k+1}\,\sum_{n=1}^{\infty }{\sigma_{k-1}(n)\,q^{n}}}{\left(k-1\right)!}+2\,\zeta\left(k\right) $$
qとzの間には以下の関係がありますから、右辺はまさに複素フーリエ級数です。そしてその係数は \( \sigma_{k-1}(n) \) なのですから、驚きです。
(%i3) cond1:q=exp(2*%pi*%i*z);
$$ \tag{%o3} q=e^{2\,i\,\pi\,z} $$
このフーリエ展開は以下の幾つかの式を使えば式変形で求めることができます。
まずはリプシッツの公式：
(%i4) lip:sum((z-n)^(-k),n,-inf,inf)=(-2*%pi*%i)^k/(k-1)!*sum(n^(k-1)*q^n,n,1,inf);
$$ \tag{%o4} \sum_{n=-\infty }^{\infty }{\frac{1}{\left(z-n\right)^{k}}}=\frac{\left(-1\right)^{\frac{k}{2}}\,2^{k}\,\pi^{k}\,\sum_{n=1}^{\infty }{n^{k-1}\,q^{n}}}{\left(k-1\right)!} $$
次は約数のk乗和のランベルト型母関数：
(%i5) sum(divsum(n,k)*q^n,n,1,inf)=sum(n^k*q^n/(1-q^n),n,1,inf);
$$ \tag{%o5} \sum_{n=1}^{\infty }{\sigma_{k}(n)\,q^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n^{k}\,q^{n}}{1-q^{n}}} $$
その簡単な変形：
(%i6) sum(n^k*q^n/(1-q^n),n,1,inf)=sum(sum(n^k*q^(m*n),n,1,inf),m,1,inf);
$$ \tag{%o6} \sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n^{k}\,q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum_{m=1}^{\infty }{\sum_{n=1}^{\infty }{n^{k}\,q^{m\,n}}} $$
