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Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-Maxima入門- 総和の応用 2項係数

Maxima入門

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Maxima は総和記号を使った式を閉形式にまとめることができることを以前の記事で書きました。今回はその応用です。まずパッケージsimplify_sumを読み込んでおきます。

(%i1) load(simplify_sum)$

以下の式を展開すると係数は2項係数になります。

(%i2) (x+1)^5,expand;

$$ \tag{%o2} x^5+5\,x^4+10\,x^3+10\,x^2+5\,x+1 $$

もっと一般的にはm次式としてこんな形になります。

(%i3) S:sum(binomial(m,k)*x^k,k,0,m);

$$ \tag{%o3} \sum_{k=0}^{m}{{{m}\choose{k}}\,x^{k}} $$

m=5としてみると、

(%i4) %,m:5;

$$ \tag{%o4} \sum_{k=0}^{5}{{{5}\choose{k}}\,x^{k}} $$

これを展開するとこうなります。

(%i5) %,nouns;

$$ \tag{%o5} x^5+5\,x^4+10\,x^3+10\,x^2+5\,x+1 $$

 

さて、式Sにをsimplify_sum()を使ってみると、

(%i6) S;

$$ \tag{%o6} \sum_{k=0}^{m}{{{m}\choose{k}}\,x^{k}} $$

(%i7) simplify_sum(%);

$$ \tag{%o7} \left(x+1\right)^{m} $$

展開前の式に戻ります。

Sを少し変形したこんな式でも、

(%i8) S:sum(binomial(m,k+1)*x^k,k,0,m);

$$ \tag{%o8} \sum_{k=0}^{m}{{{m}\choose{k+1}}\,x^{k}} $$

(%i9) simplify_sum(%);

$$ \tag{%o9} \frac{\left(x+1\right)^{m}-1}{x} $$

 頑張って閉形式を見つけてくれます。

This is a test.
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