総積を使ったちょっと不思議な公式を見てみましょう。
(%i1) S(x):=2*sin(%pi*x);
$$ \tag{%o1} S\left(x\right):=2\,\sin \left(\pi\,x\right) $$
この関数をk=1～n-1で変化させながら総積をとるとその値は\( \sqrt{n} \)になるのです。
(%i2) f1:product(S(k/(2*n)),k,1,(n-1))=sqrt(n);
$$ \tag{%o2} \prod_{k=1}^{n-1}{2\,\sin \left(\frac{\pi\,k}{2\,n}\right)}=\sqrt{n} $$
例示は理解の試金石、と言われるくらい具体例は重要です。例えばn=4とすると、、、
(%i3) f2:f1,n=4;
$$ \tag{%o3} \prod_{k=1}^{3}{2\,\sin \left(\frac{\pi\,k}{8}\right)}=2 $$
本当に等しいかどうか調べてみます。右辺は自明に2となります。問題は左辺です。
(%i4) lhs(f2),nouns;
$$ \tag{%o4} 2^{\frac{5}{2}}\,\sin \left(\frac{\pi}{8}\right)\,\sin \left(\frac{3\,\pi}{8}\right) $$
これで、総積記号を、各項の積に展開しました。このような式を簡単にするためにMaximaにはいくつかの関数が用意されています。その中のtrigreduce(exp)を使うと、
(%i5) trigreduce(%);
いきなり2まで簡約されてしまいました。
$$ \tag{%o5} 2 $$
(%i6) f3:f1,n=5;
n=5の場合の具体例をやっておきましょう。
$$ \tag{%o6} \prod_{k=1}^{4}{2\,\sin \left(\frac{\pi\,k}{10}\right)}=\sqrt{5} $$
引数の分母に5の倍数がきている三角関数たちの簡易化にはntrigパッケージを使う必要があります。
(%i7) load(ntrig);
$$ \tag{%o7} /Users/yasube/Programming/test-imaxima\\/ccl/5.23post/share/maxima/5.23post/share/trigonometry/ntrig.mac $$
前と同じように左側を計算すると、、、
(%i8) lhs(f3),nouns;
こんな感じになります。
$$ \tag{%o8} \frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^2\,\left(\sqrt{5}+1\right)\,\left(\sqrt{5}+5\right)}{16} $$
これでOKとはさすがに言えません。
以下のコマンドでうまく簡約出来ました。
(%i9) factor(expand(%));
$$ \tag{%o9} \sqrt{5} $$
(%i10)
