$x^2+y^2$の形の素数とガウス整数 - Maxima で綴る数学の旅

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2次形式 $x^2+y^2 $のx, yに整数を代入して得られる数を因数分解したり、4n+1型の素数をこの2次形式で表したりしてみました。まとめると、4n+1型の素数をこの2次形式で表すことが出来ますし、この2次形式の値が素数になるならそれは4n+1型です。

このことは実は整数の素因数分解と関係があります。整数を整数の範囲で素因数分解すると、素因数は全て素数です。ところが整数をガウス整数$ x+y\,i, x,y \in Z $の範囲で素因数分解すると4n+3型の素数はそのまま素因数として現れます。しかし4n+1型の素数は $ x^2+y^2 = (x+i\,y)\, (x-i\,y)=-i\,(x+i\,y)\,(y+x\,i)$ に分解してしまうのです。

実はMaximaにはガウス整数での素因数分解を行う関数gcfactor()が定義されています。

(%i1) gcfactor(19);

$$ \tag{%o1} 19 $$

(%i2) gcfactor(29);

$$ \tag{%o2} -i\,\left(2+5\,i\right)\,\left(5+2\,i\right) $$

(%i3) gcfactor(11617);

$$ \tag{%o3} -i\,\left(49+96\,i\right)\,\left(96+49\,i\right) $$

数の範囲を整数から拡大した時に、素数が素数であり続けるのか、という問題は素因数分解と直結しており、数論の基本的な問題なのです。