今回の話はアルゴリズムは単純で、\(S_n\)の可移部分群を全部求めて、１つづつガロア群かどうかテストしているだけです。当然\(n=6\)でも動作するはずです。
というわけでやってみました。GAPでこの群を求めるのは高速ですが、\(S_6\)の場合、数が279個に増えます。それと、浮動小数点で計算する際の精度は今回3000桁にしています。
以下に直接Jupyter notebookの様子を貼り付けました。ノートブックの最初のセルの最初の方は可移部分群の定義です。最後の30行くらいがガロア群を求めるコードになります。
その下の方に、ネット検索で6次方程式のガロア群を扱った論文から、例題に取り上げられていた方程式のガロア群を求めています。
今回の方法だと当然一番時間がかかるのはガロア群が\(S_6\)そのものになる場合です。そのような方程式を作って試した例もあります。時間は30分程度かかりました。ガロア群がもっと小さい場合には1分から5分程度でガロア群が求まります。
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