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Maxima で綴る数学の旅

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-数学- オイラーの無限解析: 284 L関数のオイラー積

数学

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丸武の玉子焼き

 

  

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オイラーの無限解析

オイラーの無限解析

 

今回はL関数のオイラー積です。分母のmodで分子を1 or -1にする関数 \( \chi\left(n\right) \) を分子に配置したゼータ関数(このようなゼータ関数をL関数と呼びます)のオイラー積の証明です。リーマンのゼータ関数の時と同じように計算が進み、結果が得られます。

 

(%i1) chi(n):=if numberp(n) then

    if mod(n,4)=1 then 1 else if mod(n,4)=3 then -1 else 0

  else

    'chi(n)$

(%i2) texput(nounify(chi), "\\chi");

$$ \tag{%o2} \chi $$

(%i3) map(chi,[n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]);

$$ \tag{%o3} \left[ \chi\left(n\right) , 1 , 0 , -1 , 0 , 1 , 0 , -1 , 0 , 1 , 0 , -1 , 0 , 1 \right]  $$

(%i4) F1:A=trunc(sum(chi(n)/n^s,n,1,25));

$$ \tag{%o4} A=1-\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}-\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}-\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}-\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{17^{s}}-\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{21^{s}}-\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i5) lhs(G1)=trunc(expand(rhs(G1))),G1:F1*1/3^s;

$$ \tag{%o5} \frac{A}{3^{s}}=-\frac{1}{3^{2\,s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,5^{s}}-\frac{1}{3^{s}\,7^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,9^{s}}-\frac{1}{3^{s}\,11^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,13^{s}}-\frac{1}{3^{s}\,15^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,17^{s}}-\frac{1}{3^{s}\,19^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,21^{s}}-\frac{1}{3^{s}\,23^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,25^{s}}+\cdots  $$

(%i6) lhs(H1)=trunc(rest(rhs(H1),9)),H1:apply1(%,dsimp2,dsimp1);

$$ \tag{%o6} \frac{A}{3^{s}}=\frac{1}{3^{s}}-\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}-\frac{1}{21^{s}}+\cdots  $$

(%i7) FF1:factor(lhs(I1))=trunc(rhs(I1)),I1:F1+%;

$$ \tag{%o7} \frac{\left(3^{s}+1\right)\,A}{3^{s}}=1+\frac{1}{5^{s}}-\frac{1}{7^{s}}-\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}-\frac{1}{19^{s}}-\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i8) F2:B=rhs(FF1);

$$ \tag{%o8} B=1+\frac{1}{5^{s}}-\frac{1}{7^{s}}-\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}-\frac{1}{19^{s}}-\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i9) lhs(G2)=trunc(expand(rhs(G2))),G2:F2*1/5^s;

$$ \tag{%o9} \frac{B}{5^{s}}=\frac{1}{5^{2\,s}}+\frac{1}{5^{s}}-\frac{1}{5^{s}\,7^{s}}-\frac{1}{5^{s}\,11^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,13^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,17^{s}}-\frac{1}{5^{s}\,19^{s}}-\frac{1}{5^{s}\,23^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,25^{s}}+\cdots  $$

(%i10) lhs(H2)=trunc(rest(rhs(H2),7)),H2:apply1(%,dsimp2,dsimp1);

$$ \tag{%o10} \frac{B}{5^{s}}=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i11) FF2:factor(lhs(I2))=trunc(rhs(I2)),I2:F2-%;

$$ \tag{%o11} \frac{\left(5^{s}-1\right)\,B}{5^{s}}=1-\frac{1}{7^{s}}-\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}-\frac{1}{19^{s}}-\frac{1}{23^{s}}+\cdots  $$

(%i12) F3:C=rhs(FF2);

$$ \tag{%o12} C=1-\frac{1}{7^{s}}-\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}-\frac{1}{19^{s}}-\frac{1}{23^{s}}+\cdots  $$

(%i13) lhs(G3)=trunc(expand(rhs(G3))),G3:F3*1/7^s;

$$ \tag{%o13} \frac{C}{7^{s}}=-\frac{1}{7^{2\,s}}+\frac{1}{7^{s}}-\frac{1}{7^{s}\,11^{s}}+\frac{1}{7^{s}\,13^{s}}+\frac{1}{7^{s}\,17^{s}}-\frac{1}{7^{s}\,19^{s}}-\frac{1}{7^{s}\,23^{s}}+\cdots  $$

(%i14) lhs(H3)=trunc(rest(rhs(H3),6)),H3:apply1(%,dsimp2,dsimp1);

$$ \tag{%o14} \frac{C}{7^{s}}=\frac{1}{7^{s}} $$

(%i15) FF3:factor(lhs(I3))=trunc(rhs(I3)),I3:F3+%;

$$ \tag{%o15} \frac{\left(7^{s}+1\right)\,C}{7^{s}}=1-\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}-\frac{1}{19^{s}}-\frac{1}{23^{s}}+\cdots  $$

(%i16) ev(FF3,C=lhs(FF2),B=lhs(FF1),eval);

$$ \tag{%o16} \frac{\left(3^{s}+1\right)\,\left(5^{s}-1\right)\,\left(7^{s}+1\right)\,A}{3^{s}\,5^{s}\,7^{s}}=1-\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}-\frac{1}{19^{s}}-\frac{1}{23^{s}}+\cdots  $$

(%i17) pproduct((p^s-chi(p))/p^s,p,inf)*A=1;

$$ \tag{%o17} \prod_{p}\frac{p^{s}-\chi\left(p\right)}{p^{s}}\,A=1 $$

(%i18) sum(chi(n)/n^s,n,1,inf)=pproduct(p^s/(p^s-chi(p)),p,inf);

$$ \tag{%o18} \sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\chi\left(n\right)}{n^{s}}}=\prod_{p}\frac{p^{s}}{p^{s}-\chi\left(p\right)} $$

 

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