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-数学- 可解な方程式を冪根で解く(7) 群の縮小と体の拡大 第3、4ステップ〜そして最小分解体

 

不思議なノート

 

今回、第3ステップと第4ステップを実行し、Vの最小多項式の最小分解体まで拡大します。体の拡大とはリストCに冪根(と1の冪根)を付け加えることでした。この結果、Vの最小多項式を1次式に分解することができるのに必要な冪根が全て計算されます。

同時にVの最小多項式自身も計算するわけですが、結果は1次式になります。つまり、、、Vが解けたことになります!!!

 

では早速第3ステップを実行します。

(%i4) p1:NSGS[3]@degree/NSGS[4]@degree;
$$ \tag{%o4} 2 $$

この段階でまだ加えていない1の冪根があれば加えます。この場合、2の冪根は-1ですが、これは最初からQに入っているので、加えません。
(%i5) if (p1>2) then (push([zeta[p1],ratsimp((zeta[p1]^p1-1)/(zeta[p1]-1))],C),C);
$$ \tag{%o5} \mathbf{false} $$

ステップ2で計算したg2をVの式として使えるように準備します。
(%i6) g2v:ev(g2,x:V)$

ここから正規部分群\(NSGS\left[4\right]\)に基づいて\(h0, h1\)を計算し、さらに\(\theta_{0}, \theta_{1}^2\)を計算します。
(%i7) gr3:listify(NSGS[4]@index_element_set);
$$ \tag{%o7} \left[ 1 , 8 \right] $$
(%i8) h0:product(x-ev(V[gr3[i]],PS@vncond),i,1,length(gr3))$
(%i9) gr32:makelist(gr_mult(17,elem,NSGS[4]),elem,gr3);
$$ \tag{%o9} \left[ 17 , 24 \right] $$
(%i10) h1:product(x-ev(V[gr32[i]],PS@vncond),i,1,length(gr32))$
(%i11) theta[0]:ratexpand(ef_polynomial_reduction(remainder((h0+h1)/p1,g2v),C));
ARRSTORE: use_fast_arrays=false; allocate a new property hash table for $THETA
$$ \tag{%o11} x^2+2\,x+\frac{19\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{3042000}-\frac{\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{169}-\frac{4\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}+\frac{29\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{6084000}+\frac{47\,\alpha_{2}^2}{3380}+\frac{11\,\alpha_{2}}{26}+4 $$
(%i12) theta[12]:ratexpand(ef_polynomial_reduction(theta[0]^p1-remainder(h0*h1,g2v),C));
$$ \tag{%o12} \frac{11\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}\,x^2}{2281500}+\frac{8\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}\,x^2}{845}-\frac{8\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}\,x^2}{13}-\frac{\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,x^2}{4563000}+\frac{3\,\alpha_{2}^2\,x^2}{169}-\frac{2\,\alpha_{2}\,x^2}{13}-4\,x^2+\frac{11\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}\,x}{1140750}+\frac{16\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}\,x}{845}-\frac{16\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}\,x}{13}-\frac{\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,x}{2281500}+\frac{6\,\alpha_{2}^2\,x}{169}-\frac{4\,\alpha_{2}\,x}{13}-8\,x+\frac{11\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{2281500}+\frac{8\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{845}-\frac{8\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}-\frac{\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{4563000}+\frac{3\,\alpha_{2}^2}{169}-\frac{2\,\alpha_{2}}{13}-4 $$

さらに計算を進めて、\(A1, Q1, q1\)を求めます。
(%i13) A1:coeff(ratexpand(theta[12]),x,hipow(ratexpand(theta[12]),x));
$$ \tag{%o13} \frac{11\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{2281500}+\frac{8\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{845}-\frac{8\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}-\frac{\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{4563000}+\frac{3\,\alpha_{2}^2}{169}-\frac{2\,\alpha_{2}}{13}-4 $$
(%i14) Q1:ratexpand(ef_mult(theta[12],ef_divide(1,A1,C),C));
$$ \tag{%o14} x^2+2\,x+1 $$
(%i15) q1:ratexpand(ef_pthroot(Q1,p1,C));
$$ \tag{%o15} x+1 $$

添加する元(\(A1\)の\(p1=2\)乗根)に\(\alpha_3\)と名前をつけます。
(%i16) a1:alpha[3];
$$ \tag{%o16} \alpha_{3} $$

\(\alpha_3\)を添加することで体を拡大します。
(%i17) push([alpha[3],alpha[3]^p1-A1],C);
$$ \tag{%o17} \left[ \left[ \alpha_{3} , -\frac{11\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{2281500}-\frac{8\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{845}+\frac{8\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}+\alpha_{3}^2+\frac{\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{4563000}-\frac{3\,\alpha_{2}^2}{169}+\frac{2\,\alpha_{2}}{13}+4 \right] , \left[ \alpha_{2} , \frac{14\,\alpha_{1}\,\zeta_{3}}{27}-1440\,\zeta_{3}+\alpha_{2}^3-\frac{19\,\alpha_{1}}{135}-2120 \right] , \left[ \zeta_{3} , \zeta_{3}^2+\zeta_{3}+1 \right] , \left[ \alpha_{1} , \alpha_{1}^2-38880000 \right] \right] $$

最後に\(g3\)を計算します。
(%i18) theta[1]:a1*q1;
$$ \tag{%o18} \alpha_{3}\,\left(x+1\right) $$
(%i19) g3:ratexpand(ef_polynomial_reduction(theta[0]+theta[1],C));
$$ \tag{%o19} x^2+\alpha_{3}\,x+2\,x+\frac{19\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{3042000}-\frac{\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{169}-\frac{4\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}+\alpha_{3}+\frac{29\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{6084000}+\frac{47\,\alpha_{2}^2}{3380}+\frac{11\,\alpha_{2}}{26}+4 $$

 

 

ステップ4もステップ3と全く同じ流れです。
(%i20) p1:NSGS[4]@degree/NSGS[5]@degree;
$$ \tag{%o20} 2 $$
(%i21) if (p1>2) then (push([zeta[p1],ratsimp((zeta[p1]^p1-1)/(zeta[p1]-1))],C),C);
$$ \tag{%o21} \mathbf{false} $$
(%i22) g3v:ev(g3,x:V);
$$ \tag{%o22} V^2+\alpha_{3}\,V+2\,V+\frac{19\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{3042000}-\frac{\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{169}-\frac{4\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}+\alpha_{3}+\frac{29\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{6084000}+\frac{47\,\alpha_{2}^2}{3380}+\frac{11\,\alpha_{2}}{26}+4 $$
(%i23) gr4:listify(NSGS[5]@index_element_set);
$$ \tag{%o23} \left[ 1 \right] $$
(%i24) h0:product(x-ev(V[gr4[i]],PS@vncond),i,1,length(gr4))$
(%i25) gr42:makelist(gr_mult(8,elem,NSGS[5]),elem,gr4);
$$ \tag{%o25} \left[ 8 \right] $$
(%i26) h1:product(x-ev(V[gr42[i]],PS@vncond),i,1,length(gr42))$
(%i27) theta[0]:ratexpand(ef_polynomial_reduction(remainder((h0+h1)/p1,g3v),C));
$$ \tag{%o27} x+\frac{\alpha_{3}}{2}+1 $$

正直に\(\left(h0-h1\right)^2/4\)を計算すると遅いので、下記のように式変形しています。
(%i28) theta[12]:ratexpand(ef_polynomial_reduction(theta[0]^p1-remainder(h0*h1,g3v),C));
$$ \tag{%o28} -\frac{23\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{4563000}+\frac{7\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{845}+\frac{2\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}-\frac{11\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{2281500}-\frac{8\,\alpha_{2}^2}{845}-\frac{6\,\alpha_{2}}{13}-4 $$
(%i29) A1:coeff(ratexpand(theta[12]),x,hipow(ratexpand(theta[12]),x));
$$ \tag{%o29} -\frac{23\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{4563000}+\frac{7\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{845}+\frac{2\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}-\frac{11\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{2281500}-\frac{8\,\alpha_{2}^2}{845}-\frac{6\,\alpha_{2}}{13}-4 $$
(%i30) Q1:ratexpand(ef_mult(theta[12],ef_divide(1,A1,C),C));
$$ \tag{%o30} 1 $$
(%i31) q1:ratexpand(ef_pthroot(Q1,p1,C));
$$ \tag{%o31} 1 $$

\(\alpha_4\)を計算して、この元でさらに体を拡大します。
(%i32) a1:alpha[4];
$$ \tag{%o32} \alpha_{4} $$
(%i33) push([alpha[4],alpha[4]^p1-A1],C);
$$ \tag{%o33} \left[ \left[ \alpha_{4} , \alpha_{4}^2+\frac{23\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{4563000}-\frac{7\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{845}-\frac{2\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}+\frac{11\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{2281500}+\frac{8\,\alpha_{2}^2}{845}+\frac{6\,\alpha_{2}}{13}+4 \right] , \left[ \alpha_{3} , -\frac{11\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{2281500}-\frac{8\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{845}+\frac{8\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}+\alpha_{3}^2+\frac{\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{4563000}-\frac{3\,\alpha_{2}^2}{169}+\frac{2\,\alpha_{2}}{13}+4 \right] , \left[ \alpha_{2} , \frac{14\,\alpha_{1}\,\zeta_{3}}{27}-1440\,\zeta_{3}+\alpha_{2}^3-\frac{19\,\alpha_{1}}{135}-2120 \right] , \left[ \zeta_{3} , \zeta_{3}^2+\zeta_{3}+1 \right] , \left[ \alpha_{1} , \alpha_{1}^2-38880000 \right] \right] $$

そして、いよいよg4を計算します。
(%i34) theta[1]:a1*q1;
$$ \tag{%o34} \alpha_{4} $$
(%i35) g4:ratexpand(ef_polynomial_reduction(theta[0]+theta[1],C));
$$ \tag{%o35} x+\alpha_{4}+\frac{\alpha_{3}}{2}+1 $$

この\(x\)の1次式の解が原始元\(V\)の値です。

元の方程式の解まではあと一歩です。

This is a test.
天気