Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-数学- 補助定理II, ガロア群の計算

補助定理IIでは、与えられた方程式の根\(\alpha, \beta, \gamma\ldots\)の一次結合\(V=A\,\alpha+B\,\beta+C\,\gamma+\cdots\)を作り、一次結合に現れる根の全ての置換でVの値が異なるようにすることが出来る、と述べています。

これ、深い意味があるようでないようで、わかりにくい定理です。そもそも値が一致するように係数A, B, Cを選ぶ方がよっぽど難しい気がします。一方、値が異なっていることを示すことが必要ですが、そちらは次回にやります。

やって見ましょう。まず今回の一連の記事で例として扱う方程式をp1として定義します。

(%i1) p1:x^3-3*x-1;
$$ \tag{%o1} x^3-3\,x-1 $$

念のため、この方程式p1に重根がないことを確認します。
(%i2) first(ezgcd(p1,diff(p1,x)));
$$ \tag{%o2} 1 $$

p1の係数を取り出して、根の基本対称式e1, e2, e3の値として記録します。これをSymCondという名前であとで参照できるようにします。
(%i3) SymCond:[e1=-coeff(p1,x,2),e2=coeff(p1,x,1),e3=-coeff(p1,x,0)];
$$ \tag{%o3} \left[ \mathrm{e1}=0 , \mathrm{e2}=-3 , \mathrm{e3}=1 \right] $$

これで準備は出来ました。では補助定理IIの計算です。

一次結合を定義します。係数は適当に1, 2, 3としました。
(%i4) phi(X,Y,Z):=1*X+2*Y+3*Z;
$$ \tag{%o4} \varphi\left(X , Y , Z\right):=1\,X+2\,Y+3\,Z $$

p1の解を\(\alpha, \beta, \gamma\)として、それらの並べ替えは合計6通りあります。それらを全て作ります。ここでのポイントはMaximaの組込関数permutations()です。引数に指定されたリストから得られるすべての順列を生成して返してくれます。また出来上がった6つの一次結合をV1〜V6という変数で表します。
(%i5) VCond:map(lambda([perm,var], var=apply(phi,perm)), listify(permutations([alpha,beta,gamma])),[V1,V2,V3,V4,V5,V6]);
$$ \tag{%o5} \left[ \mathrm{V1}=3\,\gamma+2\,\beta+\alpha , \mathrm{V2}=2\,\gamma+3\,\beta+\alpha , \mathrm{V3}=3\,\gamma+\beta+2\,\alpha , \mathrm{V4}=2\,\gamma+\beta+3\,\alpha , \mathrm{V5}=\gamma+3\,\beta+2\,\alpha , \mathrm{V6}=\gamma+2\,\beta+3\,\alpha \right] $$

この6つの式をまとめてVCondという名前をつけてあとで参照できるようにします。

 

文献[1]方程式のガロア群の求め方 – 五次元世界の冒険で言えば(3)式を求めるまでがこの記事に相当します。

This is a test.
天気