Maxima で綴る数学の旅

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-数学- 「ガロア群計算の体論的な意味」への補足

雪のヘルシンキ空港

 

 

F(V)が因数分解できる場合にはV(元の方程式の根の一次結合)の根の置換で得られるV1, V2, V3,,,の全てがVの最小多項式の解になるわけではありません。 Vの最小多項式の根となるV', V''...V'''について、それらを得るための根の置換が Q ( V ) = Q ( α , β , γ ) Q(V)=Q(α,β,γ)で許される根の置換であることは自明でしょう。

-数学- ガロア群計算の体論的な意味 - Maxima で綴る数学の旅

と書きました。ガロア群計算についてはおしまいにしようと思っていたのですが、上記の部分、特に最後の「自明」に対応する体論の定理は何なのか、ここしばらく考えていました。 

 

上記の事柄を前提からおさらいすると、

  1. f(x)をQ上既約なn次多項式とし、そのn個の解をα、β、γ、、、とする。
  2. これらのn個の解をQに一度に加えた拡大体Q(α, β, γ,,,)を眺めていても何も分からない。
  3. そこで解のQ係数の一次結合V=aα+bβ+cγ+...を作り、拡大体Q(V)という単拡大を考えるとQ(V)=Q(α, β, γ,,,)が成り立つ。
  4. Vの式のα, β, γ,,,の全ての置換を考えそれらをV1(=V), V2,,,Vn!とする。
  5. F(X)=(X-V1)(X-V2)…(X-Vn!)を作り展開すると、n!次のQ係数の多項式になる。Qで出来るだけ因数分解する。F(X)=P1(X) P2(X) …Pk(X)。因数分解出来なければF(X)=P1(X)。
  6. F(V)=F(V1)=0なので、右辺のどれかにVを代入すると0になる。それをここではP1とする。P1(V)=0。4で定義したV1, V2,,,Vn!のうち、P1に代入すると0になるものをV, V', V'',,,V'''とする。
  7. P1(X)はQ上既約でP1(V)=0なのでVの最小多項式となる。V,V',V'',,,V'''の最小多項式は共通でP1(X)である。
  8. V,V',V'',,,V'''を得るための根の置換がf(x)のガロア群を構成する

この中の7.から8.を導く体論の定理は何か、というのが考えていたことです。

 

ほぼそのものズバリ、という定理が[改訂] ガロア理論入門ノートにありましたので、紹介します。

定義(共役) K を体, α, β を K の代数的な元とする. Irr(α, K) = Irr(β, K) で あるとき, α と β は K 上共役である, または K 上の共役元である, という. また β は α の K 上の共役元である, という.

(Irr(α,K)はαのモニックな最小多項式を表す)

 

定理 34 L は K の有限次ガロア拡大である ⇔ L はある f(X)(∈ K[X]) の K 上の最小分解体である.

 

命題 38 L を体 K のガロア拡大とし,α, β ∈ L とする.このとき, α, β を K 上共役である ⇔ σ(α) = β となる L の K 自己同型写像 σ が存 在する.

この命題38がそれです。

 

7.からV,V',V'',,,V'''は共通の最小多項式P1(x)を持つこととなります。共役の定義よりVとV',V'',,,V'''はQ上共役です。またP1(X)の根はこれで全てですからVの共役元はこれで全てとなります。QにV,V',V'',,,V'''を加えた拡大体Q(V,V',V'',,,V''')はP1(X)の最小分解体になりますから、定理34よりQ(V,V',V'',,,V''')はQの有限次ガロア拡大になります。

 

そこで上記命題38より、例えばVとV'について、Q自己同型写像σでσ(V)=V'を満たすものが存在することとなります。

さらに、V1=V, V2,,,Vn!の中のあるVkが、V,V',V'',,,V'''に含まれない(VkはVと共役ではない)とすると、σ(V)=VkとなるQ自己同型写像σはGal(Q(V)/Q)には存在しません。

 

では具体的にσ(V)=V'なるQ同型写像はどんな写像か、というとそれはVをV'にする解の置換そのもの、ということになるわけです。

 

「n次多項式f(x)のガロア群はn次対称群Snの部分群になる」というステートメントはよく目にします。しかし、Snのどんな部分群になるのか、すなわちSnの要素でガロア群に含まれるものはどれで、含まれないものはどれか、が明示的に書いてあることは少ないか、初学者には読み取れないことが多いと感じます。上記の考察から「ガロア群による方程式の対称性」≒「共役」であろうと想像できるでしょう。

 

さらに調べ物を進めると、

ガロア群の要素と複素共役の類似性 – 五次元世界の冒険

にこの共役に関する様々な性質が記述されていることがわかりました。また「ガロア共役演算とは、このように「K にとって対等な数たち」=「K上共役な数たち」を互いに入れ替えるような操作であり、そういう点からも複素共役の拡張になっている、というわけだ。」という記述もありました。

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