今回は今までに求めてきた２つの\(P(q)\)に関する数式を、\(n\)を適当な自然数として\(q=e^{-2\,\pi\,\sqrt{n}}\)の場合に特化した数式として計算してみます。とは言ってもおおむね代入して整理するだけです。
その系として次の式がほぼ自明に得られることも示します。
$$1-24\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^ {- 2\,\pi\,n }}{1-e^ {- 2\,\pi\,n }}}=\frac{3}{\pi}$$
7年前に書いた記事:
で示した$$ \sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n^5}{e^{2\,\pi\,n}-1}}=\frac{1}{504}$$
ととてもよく似た式です。どちらも保型性に由来しています。
