ラマヌジャンの\(\frac{1}{\pi}\)公式に関する論文や記事を読んでいるとしばしば以下の公式に出会います。
$$_{2}F_1\left(\frac12,\frac12;1;x\right)^2= {}_3F_2\left(\frac12,\frac12,\frac12;1,1;4\,x\,(1-x)\right)$$
大抵クローゼンの公式の特殊な場合として紹介されるのですが、クローゼンの公式：
$$_{2}F_1\left(a,b;a+b+\frac12;x\right)^2= {}_3F_2\left(2\,a,2\,b,a+b;2\,a+2\,b,a+b+\frac12;x\right)$$を知ってもその証明を勉強しても、どうやって上記の式を証明したら良いのかわかりませんでした。
その際に参考にさせてもらった記事：
を見ていると、クローゼンの公式の証明の前にある２次変換公式が目につきました。両方の式を睨みながら、こちらの\(a, b\)に定数を代入し、こちらの\(a,b\)に別の定数を代入し、、、とやっているとちゃんと証明ができることが分かりました。
