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-数学- ラマヌジャンのテータ関数(今後の議論に必要な定義と定理)

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この本の第5章のLemma 5.2.1まで証明を見て来ました。ここまではほぼ超幾何関数の議論だけで済んだのですが、ここから先はラマヌジャンのテータ関数の知識が必要になります。

そのための必要最小限の定義とこの先に必要な等式をここで述べておきます。証明は第5章の主題となる定理の証明まで済んでから行うことにします。

 

今回も参考文献は以下の本[1]です。

 

[1]の第1章より

Definition 1.2.1:ラマヌジャンの一般テータ関数\(f(a,b)\)は\(|a\,b| \lt 1\)として

$$\tag{$1.2.1$}f\left(a , b\right)=\sum_{n= -\infty }^{\infty }{a^{\frac{n\,\left(n+1\right)}{2}}\,b^{\frac{\left(n-1\right)\,n}{2}}}$$

この特別な場合として、

$$\tag{$1.2.2$}\varphi(q)=f\left(q , q\right)=\sum_{n= -\infty }^{\infty }{q^{n^2}}$$

$$\tag{$1.2.3$}\psi\left(q\right)=f(q , q^3)=\sum_{n=0}^{\infty }{q^{\frac{n\,\left(n+1\right)}{2}}}$$

 

 

またいわゆるq積(q product)を以下の関数\(qs(a,q,n)\)として定義します。この定義は[1]では序文の中の最後に導入されています。

$$qs\left(a , q , n\right)=\prod_{k=1}^{n}{\left(1-a\,q^{k-1}\right)}$$

 

[1]の第1章より以下のような等式が成り立ちます。

Corollary 1.3.4

$$\tag{$1.3.13$}\varphi\left(q\right)={\it qs}\left(q^2 , q^2 , \infty \right)\,{\it qs}\left(-q , q^2 , \infty \right)^2$$あるいは同じ式ですが$$\sum_{n= -\infty }^{\infty }{q^{n^2}}=\left(\prod_{k=1}^{\infty }{\left(q^{2\,\left(k-1\right)+1}+1\right)}\right)^2\,\prod_{k=1}^{\infty }{\left(1-q^{2\,\left(k-1\right)+2}\right)}$$

 

$$\tag{$1.3.14$}\psi\left(q\right):=\frac{{\it qs}\left(q^2 , q^2 , \infty \right)}{{\it qs}\left(q , q^2 , \infty \right)}$$あるいは同じ式ですが$$\sum_{n=0}^{\infty }{q^{\frac{n\,\left(n+1\right)}{2}}}=\frac{\prod_{k=1}^{\infty }{\left(1-q^{2\,k}\right)}}{\prod_{k=1}^{\infty }{\left(1-q^{2\,k-1}\right)}}$$

 

Theorem 1.3.10

$$\tag{$1.3.32$}\varphi\left(-q^2\right)^2=\varphi\left(-q\right)\,\varphi\left(q\right)$$あるいは同じ式ですが$$\left(\prod_{k=1}^{\infty }{\left(1-q^{4\,\left(k-1\right)+2}\right)}\right)^4\,\left(\prod_{k=1}^{\infty }{\left(1-q^{4\,\left(k-1\right)+4}\right)}\right)^2=\left(\prod_{k=1}^{\infty }{\left(1-q^{2\,\left(k-1\right)+1}\right)}\right)^2\,\left(\prod_{k=1}^{\infty }{\left(q^{2\,\left(k-1\right)+1}+1\right)}\right)^2\,\left(\prod_{k=1}^{\infty }{\left(1-q^{2\,\left(k-1\right)+2}\right)}\right)^2$$

[1]の第3章よりTheorem 3.6.3と関連して以下の等式が成り立ちます。

$$\tag{$3.6.7$}\varphi\left(q\right)^2+\varphi\left(-q\right)^2=2\,\varphi\left(q\right)^2$$

$$\tag{$3.6.8$}\varphi\left(q\right)^4-\varphi\left(-q\right)^4=16\,q\,\psi\left(q^2\right)^4$$