今年(2014年)の同志社大学の入試問題をMaximaを使って解いてみます。問題は次の通り：
[III]曲線C: \( y=\log ^2x+{{3}\over{4}} \) , \( (x>0) \)について、以下の問いに答えよ。
(1) \( {{d\,y}\over{d\,x}} \), \( {{d^2\,y}\over{d\,x^2}} \)を求めよ。また\( {{d\,y}\over{d\,x}} >0 \)となるxの範囲を求めよ。
(2) 曲線Cの接線で原点(0,0)を通るものを求めよ。
(3) 曲線Cの外形と(2)で求めた接線を描け。
(4) (2)で求めた接線の中で傾きが最大のものと曲線Cとの接点をPとする。Pの座標を求めよ。
(5) (4)で求めた点Pを通り、\( x \) 軸に平行な直線と曲線Cで囲まれた図形の面積 \( S \) を求めよ。
(%i1) assume(x>0);
$$ \tag{%o1} \left[ x>0 \right] $$
(%i2) f(x):=log(x)^2+3/4;
$$ \tag{%o2} f\left(x\right):=\frac{3}{4}+\log ^2x $$
(%i3) d:[diff(f(x),x), diff(f(x),x,2)];
$$ \tag{%o3} \left[ \frac{2\,\log x}{x} , \frac{2}{x^2}-\frac{2\,\log x}{x^2} \right] $$
上記%o3で(1)が求まりました。
(%i4) solve(d[1]=0,x);
$$ \tag{%o4} \left[ x=1 \right] $$
ですから、(1)の最後の質問の答えはx>1です。
ここから(2)をやります。
(%i5) f(p)/p=ev(d[1],x=p);
$$ \tag{%o5} \frac{\log ^2p+\frac{3}{4}}{p}=\frac{2\,\log p}{p} $$
(%i6) sol:solve(%,p);
$$ \tag{%o6} \left[ p=e^{\frac{3}{2}} , p=\sqrt{e} \right] $$
(%i7) lin:[ev(f(p)/p*x,sol[1]),ev(f(p)/p*x,sol[2])];
接線が２本求まりました。
$$ \tag{%o7} \left[ 3\,e^ {- \frac{3}{2} }\,x , \frac{x}{\sqrt{e}} \right] $$
曲線Cと２本の接線をグラフに描いて(3)とします。
(%i8) wxplot2d([f(x),lin[1],lin[2]],[x,0,6],[y,0,5]);
plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.
plot2d: some values were clipped.
$$ \tag{%o8} $$
(%i9) [rhs(sol[1]),ev(f(p),sol[1])];
$$ \tag{%o9} \left[ e^{\frac{3}{2}} , 3 \right] $$
上記が(4)の答えですね。
(%i10) solve(f(x)=%[2],x);
$$ \tag{%o10} \left[ x=e^ {- \frac{3}{2} } , x=e^{\frac{3}{2}} \right] $$
(%i11) integrate(3-f(x),x,rhs(%[1]),rhs(%[2])),expand;
$$ \tag{%o11} e^{\frac{3}{2}}+5\,e^ {- \frac{3}{2} } $$
これで(5)の答えが求まりました。
