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-数学- オイラーの無限解析: 283 リーマンのゼータ関数のオイラー積

 

オイラーの無限解析

オイラーの無限解析

この本はレオンハルト・オイラーによる有名な著作の日本語訳です。このような本の日本語訳が手に入るというのは本当にありがたいことです。

この本の特徴は、ひたすら計算をして、面白い結果を示している点にあります。その意味ではMaximaを使って計算をなぞってみると理解が進むかもしれません。

では早速、あの有名なゼータ関数オイラー積表示の証明から。

(この計算を実行するには関数や簡約ルールの追加が必要です。記事の一番下にそれらを載せてあります)。

(%i1) F1:A=trunc(sum(1/n^s,n,1,25));

$$ \tag{%o1} A=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{12^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{14^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{16^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{18^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{20^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\frac{1}{22^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{24^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i2) lhs(G1)=trunc(expand(rhs(G1))),G1:F1*1/2^s;

$$ \tag{%o2} \frac{A}{2^{s}}=\frac{1}{2^{2\,s}}+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,3^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,4^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,5^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,6^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,7^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,8^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,9^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,10^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,11^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,12^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,13^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,14^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,15^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,16^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,17^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,18^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,19^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,20^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,21^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,22^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,23^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,24^{s}}+\frac{1}{2^{s}\,25^{s}}+\cdots  $$

(%i3) lhs(H1)=trunc(rest(rhs(H1),13)),H1:apply1(%,dsimp2,dsimp1);

$$ \tag{%o3} \frac{A}{2^{s}}=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\frac{1}{12^{s}}+\frac{1}{14^{s}}+\frac{1}{16^{s}}+\frac{1}{18^{s}}+\frac{1}{20^{s}}+\frac{1}{22^{s}}+\frac{1}{24^{s}}+\cdots  $$

(%i4) FF1:factor(lhs(I1))=trunc(rhs(I1)),I1:F1-%;

$$ \tag{%o4} \frac{\left(2^{s}-1\right)\,A}{2^{s}}=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i5) F2:B=rhs(FF1);

$$ \tag{%o5} B=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i6) lhs(G2)=trunc(expand(rhs(G2))),G2:F2*1/3^s;

$$ \tag{%o6} \frac{B}{3^{s}}=\frac{1}{3^{2\,s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,5^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,7^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,9^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,11^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,13^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,15^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,17^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,19^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,21^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,23^{s}}+\frac{1}{3^{s}\,25^{s}}+\cdots  $$

(%i7) lhs(H2)=trunc(rest(rhs(H2),9)),H2:apply1(%,dsimp2,dsimp1);

$$ \tag{%o7} \frac{B}{3^{s}}=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\cdots  $$

(%i8) FF2:factor(lhs(I2))=trunc(rhs(I2)),I2:F2-%;

$$ \tag{%o8} \frac{\left(3^{s}-1\right)\,B}{3^{s}}=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i9) F3:C=rhs(FF2);

$$ \tag{%o9} C=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i10) lhs(G3)=trunc(expand(rhs(G3))),G3:F3*1/5^s;

$$ \tag{%o10} \frac{C}{5^{s}}=\frac{1}{5^{2\,s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,7^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,11^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,13^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,17^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,19^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,23^{s}}+\frac{1}{5^{s}\,25^{s}}+\cdots  $$

(%i11) lhs(H3)=trunc(rest(rhs(H3),7)),H3:apply1(%,dsimp2,dsimp1);

$$ \tag{%o11} \frac{C}{5^{s}}=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\cdots  $$

(%i12) FF3:factor(lhs(I3))=trunc(rhs(I3)),I3:F3-%;

$$ \tag{%o12} \frac{\left(5^{s}-1\right)\,C}{5^{s}}=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\cdots  $$

(%i13) ev(FF3,C=lhs(FF2),B=lhs(FF1),eval);

$$ \tag{%o13} \frac{\left(2^{s}-1\right)\,\left(3^{s}-1\right)\,\left(5^{s}-1\right)\,A}{2^{s}\,3^{s}\,5^{s}}=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\frac{1}{23^{s}}+\cdots  $$

(%i14) pproduct((p^s-1)/p^s,p,inf)*A=1;

$$ \tag{%o14} \prod_{p}\frac{p^{s}-1}{p^{s}}\,A=1 $$

(%i15) sum(1/n^s,n,1,inf)=pproduct(p^s/(p^s-1),p,inf);

$$ \tag{%o15} \sum_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n^{s}}}=\prod_{p}\frac{p^{s}}{p^{s}-1} $$

 

まず、下記をMaximaに読み込ませてください。そうすれば上記をそのまま実行することができるようになります。wxMaximaでもimaximaでも下記を全部選択してコピーし、それらのプログラムでペーストすれば読み込めました。

matchdeclare([a,b,c],true)$

defrule(dsimp1,a/b^(c*s),a/(b^c)^s);

matchdeclare([a,b,c],true)$

defrule(dsimp2,a/(b^s*c^s),a/(b*c)^s);

matchdeclare([a,b,c],true)$

defrule(dsimp3,a^(1-s)/b^s,a/(a*b)^s);

 

pproduct_internal(e, var, pmax) ::=

  if numberp(pmax) then

    buildq([e:e,v:var,pm:pmax],

      block([res:1],

        for v:next_prime(1)  next next_prime(v) while (v<=pm)

          do block([],res:e*res),return(res)))$

pproduct(exp,var,pmax)::=

  if numberp(pmax) then

    buildq([exp:exp,var:var,pmax:pmax], pproduct_internal(exp, var, pmax ) )

  else 'pproduct(exp,var,pmax)$

 

 

texput(nounify(pproduct),

  lambda([arglist], block([e,v,pm],[e,v,pm]:args(arglist),

      if (pm=inf) then

        concat("\\prod_{",tex1(v) ,if(v='p)then""else":prime","}",tex1(e) )

      else

        concat("\\prod_{",tex1(v) ,if(v='p)then""else":prime"," \\leq ",tex1(pm),"}",tex1(e)))))$