Maxima で綴る数学の旅

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-数学- 可解な方程式を冪根で解く(8) 解を求める

不思議なノート2

 

これまでの計算で4次多項式\( x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5 \)の根を求めるための全ての準備が終わりました。4つの解はVの多項式solV[1](V)〜solV[4](V)としては求まっていました。そして前回の記事で\(V\)を冪根と1の冪乗根による値を得たのでした。

 

そのsolV[1](V)〜solV[4](V)に、前回の記事で求めた、

\(V= -\alpha_{4}-\frac{\alpha_{3}}{2}-1\)

を代入しても良いのですが、文献3 13.\(x_1 , x_2 , \cdots , x_n\)の計算 にもあるようにg1〜g4とCの中の冪根で字下げをすることでも計算できます。やってみましょう。

(%i39) for i:1 thru 4 do (
x[i]:remainder(ev(solV[i](V),PS@solcond),ev(g1,x:V)),
for gx in [g2,g3,g4] do (
x[i]:remainder(x[i],ev(gx,x:V))),
x[i]:ratexpand(ef_polynomial_reduction(x[i],C)));
ARRSTORE: use_fast_arrays=false; allocate a new property hash table for $X
$$ \tag{%o39} \mathbf{done} $$

これで解がx[1]〜x[4]として求まりました!!!印字してみます。


(%i40) for i:1 thru 4 do print('x[i]=x[i]);
$$ \tag{*} \mathrm{\%x}_{1}=\frac{\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{292032000}-\frac{3\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{10816}+\frac{3\,\alpha_{2}\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{416}+\frac{23\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{292032000}-\frac{7\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{54080}+\frac{\alpha_{2}\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{104}-\frac{\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{16}-\frac{\alpha_{4}}{4}+\frac{\alpha_{3}}{4}-\frac{1}{2}\verb| | $$
$$ \tag{*} \mathrm{\%x}_{2}=-\frac{\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{292032000}+\frac{3\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{10816}-\frac{3\,\alpha_{2}\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{416}-\frac{23\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{292032000}+\frac{7\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{54080}-\frac{\alpha_{2}\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{104}+\frac{\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{16}+\frac{\alpha_{4}}{4}+\frac{\alpha_{3}}{4}-\frac{1}{2}\verb| | $$
$$ \tag{*} \mathrm{\%x}_{3}=-\frac{\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{292032000}+\frac{3\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{10816}-\frac{3\,\alpha_{2}\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{416}-\frac{23\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{292032000}+\frac{7\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{54080}-\frac{\alpha_{2}\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{104}+\frac{\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{16}-\frac{\alpha_{4}}{4}-\frac{\alpha_{3}}{4}-\frac{1}{2}\verb| | $$
$$ \tag{*} \mathrm{\%x}_{4}=\frac{\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{292032000}-\frac{3\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{10816}+\frac{3\,\alpha_{2}\,\alpha_{3}\,\zeta_{3}\,\alpha_{4}}{416}+\frac{23\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{292032000}-\frac{7\,\alpha_{2}^2\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{54080}+\frac{\alpha_{2}\,\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{104}-\frac{\alpha_{3}\,\alpha_{4}}{16}+\frac{\alpha_{4}}{4}-\frac{\alpha_{3}}{4}-\frac{1}{2}\verb| | $$
$$ \tag{%o40} \mathbf{done} $$
(%i41) C;
$$ \tag{%o41} \left[ \left[ \alpha_{4} , \alpha_{4}^2+\frac{23\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{4563000}-\frac{7\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{845}-\frac{2\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}+\frac{11\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{2281500}+\frac{8\,\alpha_{2}^2}{845}+\frac{6\,\alpha_{2}}{13}+4 \right] , \left[ \alpha_{3} , -\frac{11\,\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{2281500}-\frac{8\,\alpha_{2}^2\,\zeta_{3}}{845}+\frac{8\,\alpha_{2}\,\zeta_{3}}{13}+\alpha_{3}^2+\frac{\alpha_{1}\,\alpha_{2}^2}{4563000}-\frac{3\,\alpha_{2}^2}{169}+\frac{2\,\alpha_{2}}{13}+4 \right] , \left[ \alpha_{2} , \frac{14\,\alpha_{1}\,\zeta_{3}}{27}-1440\,\zeta_{3}+\alpha_{2}^3-\frac{19\,\alpha_{1}}{135}-2120 \right] , \left[ \alpha_{1} , \alpha_{1}^2-38880000 \right] , \left[ \zeta_{3} , \zeta_{3}^2+\zeta_{3}+1 \right] \right] $$

 

以上で終了です。無事に4次多項式\( x^4+2\,x^3+3\,x^2+4\,x+5 \)の根を4つとも、冪根\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \)と1の冪乗根\(\zeta_3 \)だけを使って求めることができました。

 

さあ、念のため検算しましょう。Cの中の\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \)と1の冪乗根\(\zeta_3 \)を数値計算で求めます。


(%i42) numcond:[ ];
$$ \tag{%o42} \left[ \right] $$
(%i43) for eqn in reverse(C) do (
push(allroots(ev(eqn[2],numcond))[1],numcond));
$$ \tag{%o43} \mathbf{done} $$
(%i44) numcond;
$$ \tag{%o44} \left[ \alpha_{4}=4.547979677000797\,i-9.764538133186105 \times 10^{-17} , \alpha_{3}=1.116392643686836\,i , \alpha_{2}=15.99570227613179-2.03408669759976\,i , \alpha_{1}=6235.382907247958 , \zeta_{3}=0.8660254037844386\,i-0.5 \right] $$

これらを先ほど求めたx[1]〜x[4]に代入すれば解の近似値が計算出来ます。
(%i45) [x[1],x[2],x[3],x[4]],numcond,numer,rectform;
$$ \tag{%o45} \left[ -0.8578967583284901\,i-1.287815479557649 , 1.416093080171908\,i+0.2878154795576489 , 0.2878154795576489-1.416093080171908\,i , 0.8578967583284901\,i-1.287815479557649 \right] $$

一方、元の4次多項式の数値解をMaximaのコマンドallroots()を使って直接計算します。
(%i46) allroots(PS@polynomial);
$$ \tag{%o46} \left[ x=1.416093080171908\,i+0.287815479557648 , x=0.287815479557648-1.416093080171908\,i , x=0.8578967583284904\,i-1.287815479557648 , x=-0.8578967583284904\,i-1.287815479557648 \right] $$

順番は違いますが、ほぼ同じ数値が4つづつ得られました。

This is a test.
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