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-数学- 補助定理IV, ガロア群の計算

[1]方程式のガロア群の求め方 – 五次元世界の冒険の順番に従い、先に補助定理IVの計算を行います。

補助定理IVでは、補助定理IIのVが満たす方程式の作り方を示し、Vの最小多項式を求める方法を示します。またVに現れる根の置換によって得られる値V1(=V), V2, V3,,,でVの最小多項式の根になっているものをV, V', V'',,,とすると、f(V)(\(=\alpha\))だけでなく、f(V'), f(V''),,,も元の方程式の根になることを述べています。

V(これはp1の根\(\alpha, \beta, \gamma\)の一次結合)の最小多項式を求める方法として、まずV1〜V6をすべて根に持つ方程式F(V)を作ります。F(V)は実は根の置換で変化しません。なぜなら根の置換はV1〜V6の置換を引き起こすだけだからです。従ってF(V)は\(\alpha, \beta, \gamma\)の対称式であり、それらの基本対称式で表して、基本対称式の値(SymCondに入っています)を代入することができます。

やってみましょう。

まずは補助定理IIで作ったV1〜V6を根に持つ方程式F(V)を作ります。

(%i6) F(V):=(V-V1)*(V-V2)*(V-V3)*(V-V4)*(V-V5)*(V-V6);
$$ \tag{%o6} F\left(V\right):=\left(V-\mathrm{V1}\right)\,\left(V-\mathrm{V2}\right)\,\left(V-\mathrm{V3}\right)\,\left(V-\mathrm{V4}\right)\,\left(V-\mathrm{V5}\right)\,\left(V-\mathrm{V6}\right) $$

VCondにV1〜V6の\(\alpha, \beta, \gamma\)による定義が入っていますから、それらを代入して展開します。
(%i7) p2:F(V),VCond,expand;
$$ \tag{%o7} 36\,\gamma^6+288\,\beta\,\gamma^5+288\,\alpha\,\gamma^5-132\,V\,\gamma^5+863\,\beta^2\,\gamma^4+1802\,\alpha\,\beta\,\gamma^4-828\,V\,\beta\,\gamma^4+863\,\alpha^2\,\gamma^4-828\,V\,\alpha\,\gamma^4+193\,V^2\,\gamma^4+1226\,\beta^3\,\gamma^3+4030\,\alpha\,\beta^2\,\gamma^3-1860\,V\,\beta^2\,\gamma^3+4030\,\alpha^2\,\beta\,\gamma^3-3888\,V\,\alpha\,\beta\,\gamma^3+910\,V^2\,\beta\,\gamma^3+1226\,\alpha^3\,\gamma^3-1860\,V\,\alpha^2\,\gamma^3+910\,V^2\,\alpha\,\gamma^3-144\,V^3\,\gamma^3+863\,\beta^4\,\gamma^2+4030\,\alpha\,\beta^3\,\gamma^2-1860\,V\,\beta^3\,\gamma^2+6378\,\alpha^2\,\beta^2\,\gamma^2-6156\,V\,\alpha\,\beta^2\,\gamma^2+1443\,V^2\,\beta^2\,\gamma^2+4030\,\alpha^3\,\beta\,\gamma^2-6156\,V\,\alpha^2\,\beta\,\gamma^2+3024\,V^2\,\alpha\,\beta\,\gamma^2-480\,V^3\,\beta\,\gamma^2+863\,\alpha^4\,\gamma^2-1860\,V\,\alpha^3\,\gamma^2+1443\,V^2\,\alpha^2\,\gamma^2-480\,V^3\,\alpha\,\gamma^2+58\,V^4\,\gamma^2+288\,\beta^5\,\gamma+1802\,\alpha\,\beta^4\,\gamma-828\,V\,\beta^4\,\gamma+4030\,\alpha^2\,\beta^3\,\gamma-3888\,V\,\alpha\,\beta^3\,\gamma+910\,V^2\,\beta^3\,\gamma+4030\,\alpha^3\,\beta^2\,\gamma-6156\,V\,\alpha^2\,\beta^2\,\gamma+3024\,V^2\,\alpha\,\beta^2\,\gamma-480\,V^3\,\beta^2\,\gamma+1802\,\alpha^4\,\beta\,\gamma-3888\,V\,\alpha^3\,\beta\,\gamma+3024\,V^2\,\alpha^2\,\beta\,\gamma-1008\,V^3\,\alpha\,\beta\,\gamma+122\,V^4\,\beta\,\gamma+288\,\alpha^5\,\gamma-828\,V\,\alpha^4\,\gamma+910\,V^2\,\alpha^3\,\gamma-480\,V^3\,\alpha^2\,\gamma+122\,V^4\,\alpha\,\gamma-12\,V^5\,\gamma+36\,\beta^6+288\,\alpha\,\beta^5-132\,V\,\beta^5+863\,\alpha^2\,\beta^4-828\,V\,\alpha\,\beta^4+193\,V^2\,\beta^4+1226\,\alpha^3\,\beta^3-1860\,V\,\alpha^2\,\beta^3+910\,V^2\,\alpha\,\beta^3-144\,V^3\,\beta^3+863\,\alpha^4\,\beta^2-1860\,V\,\alpha^3\,\beta^2+1443\,V^2\,\alpha^2\,\beta^2-480\,V^3\,\alpha\,\beta^2+58\,V^4\,\beta^2+288\,\alpha^5\,\beta-828\,V\,\alpha^4\,\beta+910\,V^2\,\alpha^3\,\beta-480\,V^3\,\alpha^2\,\beta+122\,V^4\,\alpha\,\beta-12\,V^5\,\beta+36\,\alpha^6-132\,V\,\alpha^5+193\,V^2\,\alpha^4-144\,V^3\,\alpha^3+58\,V^4\,\alpha^2-12\,V^5\,\alpha+V^6 $$

%o7が\(\alpha, \beta, \gamma\)の対称式のはずなので、symパッケージを使ってそれらの基本対称式e1, e2, e3で表してみます。まずパッケージを読み込みます。
(%i8) load(sym)$

次にtcontract()コマンドを使って短縮形を作ります。
(%i9) tcontract(p2,[alpha,beta,gamma]);
$$ \tag{%o9} 6378\,\alpha^2\,\beta^2\,\gamma^2+4030\,\alpha^3\,\beta^2\,\gamma-6156\,V\,\alpha^2\,\beta^2\,\gamma+1802\,\alpha^4\,\beta\,\gamma-3888\,V\,\alpha^3\,\beta\,\gamma+3024\,V^2\,\alpha^2\,\beta\,\gamma-1008\,V^3\,\alpha\,\beta\,\gamma+1226\,\alpha^3\,\beta^3+863\,\alpha^4\,\beta^2-1860\,V\,\alpha^3\,\beta^2+1443\,V^2\,\alpha^2\,\beta^2+288\,\alpha^5\,\beta-828\,V\,\alpha^4\,\beta+910\,V^2\,\alpha^3\,\beta-480\,V^3\,\alpha^2\,\beta+122\,V^4\,\alpha\,\beta+36\,\alpha^6-132\,V\,\alpha^5+193\,V^2\,\alpha^4-144\,V^3\,\alpha^3+58\,V^4\,\alpha^2-12\,V^5\,\alpha+V^6 $$

elem()コマンドを使って基本対称式で表してみます。
(%i10) elem([3],%,[alpha,beta,gamma]);
$$ \tag{%o10} \mathrm{e1}\,\left(\mathrm{e1}\,\left(\left(36\,\mathrm{e1}+528\,V\right)\,\mathrm{e3}+\mathrm{e1}\,\\ \left(-176\,\mathrm{e3}+\mathrm{e1}\,\left(252\,\mathrm{e2}+\mathrm{e1}\,\left(36\,\mathrm{e1}-132\,V\right)+193\,V^2\right)+\left(-36\,\mathrm{e1}-696\,V\right)\,\mathrm{e2}-144\,V^3\right)+\mathrm{e2}\,\left(611\,\mathrm{e2}-\mathrm{e1}\,\left(36\,\mathrm{e1}-132\,V\right)+717\,V^2\right)+58\,V^4\right)+\mathrm{e2}\,\left(2117\,\mathrm{e3}-\mathrm{e1}\,\left(252\,\mathrm{e2}+\mathrm{e1}\,\left(36\,\mathrm{e1}-132\,V\right)+193\,V^2\right) \\ -\left(-36\,\mathrm{e1}-696\,V\right)\,\mathrm{e2}-1860\,V\,\mathrm{e2}-336\,V^3\right)+\left(-2\,\left(1226\,\mathrm{e2}+1443\,V^2\right)-611\,\mathrm{e2}+\mathrm{e1}\,\left(36\,\mathrm{e1}-132\,V\right)+2307\,V^2\right)\,\mathrm{e3}-12\,V^5\right)+\mathrm{e2}\,\left(-2\,\left(\left(36\,\mathrm{e1}+528\,V\right)\,\mathrm{e3}+\mathrm{e1} \\ \,\left(-176\,\mathrm{e3}+\mathrm{e1}\,\left(252\,\mathrm{e2}+\mathrm{e1}\,\left(36\,\mathrm{e1}-132\,V\right)+193\,V^2\right)+\left(-36\,\mathrm{e1}-696\,V\right)\,\mathrm{e2}-144\,V^3\right)+\mathrm{e2}\,\left(611\,\mathrm{e2}-\mathrm{e1}\,\left(36\,\mathrm{e1}-132\,V\right)+717\,V^2\right)+58\,V^4\right)-2436\,V\,\mathrm{e3}+\mathrm{e2}\,\left(1226\,\mathrm{e2}+1443\,V^2\right)+122\,V^4\right) \\ +\mathrm{e3}\,\left(-3\,\left(2117\,\mathrm{e3}-\mathrm{e1}\,\left(252\,\mathrm{e2}+\mathrm{e1}\,\left(36\,\mathrm{e1}-132\,V\right)+193\,V^2\right) \\ -\left(-36\,\mathrm{e1}-696\,V\right)\,\mathrm{e2}-1860\,V\,\mathrm{e2}-336\,V^3\right)+6378\,\mathrm{e3}-1008\,V^3\right)+V^6 $$

\(\alpha, \beta, \gamma\)が消えてe1, e2, e3の式になりました。これらの値は最初の方程式p1の係数としてSymCondという名前で覚えておいたのでした。それを代入し展開します。
(%i11) p3:%,SymCond,expand;
$$ \tag{%o11} V^6-18\,V^4+81\,V^2-81 $$

e1, e2, e3が全部消えて数字を係数とするVの方程式になりました。ここまですっきりするとちょっと感動です。この式とその微分の最大公約数を求めると1になります。

(%i12) first(ezgcd(p3,diff(p3,V)));
$$ \tag{%o12} 1 $$

従ってこの式には重根はありません。つまりV1〜V6はすべて異なることがわかりました。

 

この式を因数分解してみます。
(%i13) p4:factor(p3);
$$ \tag{%o13} \left(V^3-9\,V-9\right)\,\left(V^3-9\,V+9\right) $$

V1〜V6はこれらの因数のどちらかの根になっています。[1]にもありますが、V(=V1)がどちらの根かはわからないのですが、\(\alpha, \beta, \gamma\)を適当に付け替えることで前者(first(p4))の根とできます。

ちなみに(%i13)以降のfirst(p4)を全てsecond(p4)に置き換えれば、Vは2番目の因数にあるとした計算になります。もちろん結果のガロア群は同じものになります。

(このパラグラフはコメントに基づいて修正しています)。

ここまでで[1]方程式のガロア群の求め方 – 五次元世界の冒険の(5)式まで来たことになります。

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