この楕円関数のシリーズもこれが最終回、今回は虚数乗法です。
楕円関数や楕円曲線の本を読んでいると、「虚数乗法を持つ場合とそうでない場合では性質が大きく異なる」という記述がよく出てきます。例えば、
佐藤テイト予想は虚数乗法がある楕円曲線では成立しなかったのでした。
この虚数乗法の定義もWikipediaや楕円関数、楕円曲線の本、論文などによって異なっているようです。
- 楕円曲線版：楕円曲線\(C\)が虚数乗法を持つ↔\(C\)から\(C\)の自己準同型写像の集合が\(n\)倍写像\(\left(n \in \mathbf{Z}\right)\)以外の要素を持つ。
- 楕円関数版：楕円関数\(f\)が虚数乗法を持つ↔︎ある実数でない複素数\(\mu\)について、\(f\left(z\right)\)と\(f\left(\mu\,z\right)\)が自明でない代数的関係を持つ。
- 格子版：複素平面\(\mathbf{C}\)上の格子\(L=L\left(w_1,w_2\right)\)が虚数乗法を持つ↔︎\(S\left(L\right)=\{\mu \in \mathbf{C} \mid \mu\,L \subset L\} \)として\(S\left(L\right)\)が整数以外の要素\(\mu\)を持つ。
- Wikipedia版：通常よりも大きな対称性を持つ楕円曲線の理論。別の言い方をすると、格子が余剰な対称性を持つ楕円関数の理論。
これらの４つの定義は、似ているような似ていないような、同値のような、でも同値であることが自明でもないような、微妙な関係にあります（実際には最初の３つは同値です）。
個人的には格子版の定義がわかりやすく感じるようになりました。ペー関数が格子で決まること、楕円曲線はペー関数とその微分が満たす３次曲線として定義されて、格子から決まる\(g_2, g_3\)で決まること、などに慣れたからでしょう。
格子\(L\)を\(n\)倍\(\left(n \in \mathbf{Z}\right)\)すると元の\(L\)の部分集合になるのは自明です。しかしある整数以外の数\(\mu\)について\(L\)を\(\mu\)倍すると\(L\)の部分集合になることがあります。Wikipedia版の格子の余剰な対称性とはこの\(\mu\)倍による対称のことです。
具体的には次の通りです。本来格子は平行四辺形ですから、平行四辺形の持つ対称性だけが期待される性質です。そしてそれは\(n\)倍写像です。しかし平行四辺形が例えば正方形の場合、余剰な対称性（回転対称性）を持つことになります。(\(w_1=1, w_2=i \))。この格子を90度回転させると元の格子とぴったりと重なります。複素平面上での90度回転は虚数単位\(i\)をかけることで実現できます。従って格子版の定義に出てくる整数以外の要素\(\mu\)として\(i\)があることがわかります。
正方形の例でもそうでしたが、余剰な対称性が虚数との積に由来するため、虚数乗法と呼ばれるそうです。そして、余剰な対称性を生む\(\mu\)は実は必ず虚２次無理数になることがわかります。Maximaで確認してみましょう。
(%i1) texput('w1, "w_{1}")$
(%i2) texput('w2, "w_{2}")$
\(a,b,c,d\)を整数として、\(S\left(L\right)\)の定義から余剰な対称性を生む\(\mu\)は以下の(%o3), (%o4)を満たします。
(%i3) EQ1:mu*w1=a*w1+b*w2;
$$ \tag{%o3} \mu\,w_{1}=b\,w_{2}+a\,w_{1} $$
(%i4) EQ2:mu*w2=c*w1+d*w2;
$$ \tag{%o4} \mu\,w_{2}=d\,w_{2}+c\,w_{1} $$
式を\(\mu\)で整理できるように以下のコマンドを実行しておきます。
(%i5) ratvars(mu);
$$ \tag{%o5} \left[ \mu \right] $$
EQ1とEQ2に[0,0]でない[w1,w2]が存在するためには、EQ1とEQ2の係数行列の行列式が0あることが必要十分です。
(%i6) M:coefmatrix([EQ1,EQ2],[w1,w2]);
$$ \tag{%o6} \begin{pmatrix}\mu-a&-b\\ -c&\mu-d \end{pmatrix} $$
(%i7) determinant(M)=0;
$$ \tag{%o7} \left(\mu-a\right)\,\left(\mu-d\right)-b\,c=0 $$
(%i8) rat(expand(%));
$$ \tag{%o8} \mu^2+\left(-d-a\right)\,\mu+a\,d-b\,c=0 $$
この(%o8)で\(a,b,c,d\)は整数でしたから、\(\mu\)は有理数体\(\mathbf{Q}\)の２次拡大に入ることがわかります。一方、
(%i9) EQ1/w1,expand;
$$ \tag{%o9} \mu=\frac{b\,w_{2}}{w_{1}}+a $$
でした。格子の定義から\(\frac{w_2}{w_1}\)は実数ではない複素数です。これらから\(\mu\)は虚２次無理数であることがわかります。
虚数乗法の定義については様々な書籍やネットの情報を参考にしましたが、 \(\mu\)が虚２次無理数であることについては以下の本を参考にしました。
