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-数学- ワイエルストラスのペー関数が満たす微分方程式

楕円関数としてワイエルストラスのペー関数を勉強しています。ペー関数のローラン級数展開を得ることができたので、これを使って、ペー関数の微分、ペー関数の2乗、3乗、ペー関数の微分の2乗の最初のいくつかの項を具体的に求めます。

またその結果としてペー関数の満たす有名な微分方程式を求めます。

(%i1) 'wp(z,w1,w2)=1/z^2+sum((2*k+1)*z^(2*k)*G[2*k+2](w1,w2),k,1,inf);
$$ \tag{%o1} \wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)=\frac{1}{z^2}+\sum_{k=1}^{\infty }{\left(1+2\,k\right)\,G_{2+2\,k}(w_{1},w_{2})\,z^{2\,k}} $$
(%i2) M:8;
$$ \tag{%o2} 8 $$

taylor(exp,var,point,deg)はexpを変数varについてpointの周りで次数degまでテーラー展開してくれます。このexpには無限級数多項式を指定することもできます。早速ペー関数を8次まで展開します。
(%i3) TE:'wp(z,w1,w2)=taylor(1/z^2+sum((2*k+1)*z^(2*k)*G[2*k+2](w1,w2),k,1,inf),z,0,M);
$$ \tag{%o3} \wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)=\frac{1}{z^2}+3\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,z^2+5\,G_{6}(w_{1},w_{2})\,z^4+7\,G_{8}(w_{1},w_{2})\,z^6+9\,G_{10}(w_{1},w_{2})\,z^8+\cdots $$

この結果を項別微分します。
(%i4) DTE:difftw(TE,z);
$$ \tag{%o4} \frac{d}{d\,z}\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)=-\frac{2}{z^3}+6\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,z+20\,G_{6}(w_{1},w_{2})\,z^3+42\,G_{8}(w_{1},w_{2})\,z^5+72\,G_{10}(w_{1},w_{2})\,z^7+\cdots $$

項別微分の結果を2乗します。
(%i5) DTE2:lhs(DTE)^2=taylor(expand(rhs(DTE)^2),z,0,M);
$$ \tag{%o5} \left(\frac{d}{d\,z}\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)\right)^2=\frac{4}{z^6}-\frac{24\,G_{4}(w_{1},w_{2})}{z^2}-80\,G_{6}(w_{1},w_{2})+\left(36\,G_{4}(w_{1},w_{2})^2-168\,G_{8}(w_{1},w_{2})\right)\,z^2+\left(240\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,G_{6}(w_{1},w_{2})-288\,G_{10}(w_{1},w_{2})\right)\,z^4+\cdots $$

ペー関数の2乗を求めます。
(%i6) TE2:lhs(TE)^2=taylor(expand(rhs(TE)^2),z,0,M);
$$ \tag{%o6} \wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)^2=\frac{1}{z^4}+6\,G_{4}(w_{1},w_{2})+10\,G_{6}(w_{1},w_{2})\,z^2+\left(9\,G_{4}(w_{1},w_{2})^2+14\,G_{8}(w_{1},w_{2})\right)\,z^4+\left(30\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,G_{6}(w_{1},w_{2})+18\,G_{10}(w_{1},w_{2})\right)\,z^6+\cdots $$

ペー関数の3乗も求めます。
(%i7) TE3:lhs(TE)^3=taylor(expand(rhs(TE)^3),z,0,M);
$$ \tag{%o7} \wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)^3=\frac{1}{z^6}+\frac{9\,G_{4}(w_{1},w_{2})}{z^2}+15\,G_{6}(w_{1},w_{2})+\left(27\,G_{4}(w_{1},w_{2})^2+21\,G_{8}(w_{1},w_{2})\right)\,z^2+\left(90\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,G_{6}(w_{1},w_{2})+27\,G_{10}(w_{1},w_{2})\right)\,z^4+\cdots $$

唐突に見えますが、以下のようにして関数f(z)を定義します。

(%i8) L:f(z)=lhs(DTE2)-4*lhs(TE3)+60*G[4](w1,w2)*lhs(TE);
$$ \tag{%o8} f\left(z\right)=60\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)-4\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)^3+\left(\frac{d}{d\,z}\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)\right)^2 $$

右辺の各項(ペー関数、ペー関数の3乗、ペー関数の微分の2乗)はいずれも\( w_{1}, w_{2} \)で定義される格子点だけに極を持ちます。

各項は上ですでに求めてありますから、それを代入します。
(%i9) R:f(z)=taylor(rhs(DTE2)-4*rhs(TE3)+60*G[4](w1,w2)*rhs(TE),z,0,M);
$$ \tag{%o9} f\left(z\right)=-140\,G_{6}(w_{1},w_{2})+\left(108\,G_{4}(w_{1},w_{2})^2-252\,G_{8}(w_{1},w_{2})\right)\,z^2+\left(180\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,G_{6}(w_{1},w_{2})-396\,G_{10}(w_{1},w_{2})\right)\,z^4+420\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,G_{8}(w_{1},w_{2})\,z^6+540\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,G_{10}(w_{1},w_{2})\,z^8+\cdots $$

実はf(z)の定義は唐突でもなんでもなくて、ローラン展開の負冪の項がすべてうまく消えるように定義されていたのでした。(なお(%o9)の6次、8次の係数は違っています)。

片や(%o8)からf(z)は格子点だけに極を持ち、片や(%o9)から格子点z=0の周りでローラン展開すると負冪の項は消えています。従って前回の定理3より、f(z)は定数関数です。その定数はf(0)から計算できます。

(%i10) R,z=0;
$$ \tag{%o10} f\left(0\right)=-140\,G_{6}(w_{1},w_{2}) $$

というわけで、以下が成り立つことがわかりました。
(%i11) rhs(L)=rhs(%);
$$ \tag{%o11} 60\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)-4\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)^3+\left(\frac{d}{d\,z}\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)\right)^2=-140\,G_{6}(w_{1},w_{2}) $$

式を整理して、所望の微分方程式を得ることができました。
(%i12) %-first(rhs(L))-second(rhs(L));
$$ \tag{%o12} \left(\frac{d}{d\,z}\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)\right)^2=-140\,G_{6}(w_{1},w_{2})-60\,G_{4}(w_{1},w_{2})\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)+4\,\wp\left(z , w_{1} , w_{2}\right)^3 $$

This is a test.
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