お台場の夕日
今回はラマヌジャンの保型形式に対する佐藤テイト予想の確認です。ラマヌジャンの保型形式は、(%o37)というq級数で表される保型形式です。
(%i36) load("qsexpand.sse2f")$
(%i37) ram:q*product((1-q^n)^24,n,1,inf);
$$ \tag{%o37} q\,\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-q^{n}\right)^{24}} $$
これを展開して得られる無限級数のn次の係数はτ(n)と書かれます。このτ(n)の素数次数の部分τ(p)について、 \( \cos \theta_{p}=\frac{\tau\left(p\right)}{2\,p^{\frac{11}{2}}} \) が佐藤テイト予想を満たすのです。
やってみましょう。
(%i38) qsexpand(ram,20000)$
これでτ(n)が計算できました。係数にアクセスする場合qexpand_coeff_arrayという変数にqsexpand()を使って求めた式の係数が格納されているので、これを使うと簡単です。
(%i39) res:[ ];
$$ \tag{%o39} \left[ \right] $$
(%i40) for p:2 next next_prime(p) thru 20000 do
res:append([acos(qsexpand_coeff_array[p]/ev(2*p^(11/2),numer))],res);
$$ \tag{%o40} \mathbf{done} $$
これで\( \theta_{p} \)が\( p<20000 \)の範囲で求まりました。早速グラフに描いてみましょう。
(%i41) load(draw)$
(%i42) load(descriptive)$
(%i43) draw2d(histogram_description(res,nclasses=40,frequency=density),
explicit(2/%pi*sin(x)^2,x,0,%pi),xrange=[0,%pi]);
せきゅーんさんのブログ「インテジャーズ」
http://integers.hatenablog.com/embed/2016/05/21/234606
でもラマヌジャン保型形式や佐藤テイト予想関連の記事が掲載されています。ラマヌジャン保型形式の係数τ(n)にはいろいろな性質があるのですね。勉強になります。
