キティーが一杯
佐藤テイト予想はもともと、\( \frac{\left| \mathrm{\%Nsolve}\left(E , p\right)-p \right| }{2\,\sqrt{p}}=\cos \vartheta_{p} \)を満たす\(\vartheta_{p} \)の分布という形で述べられています。
しかし、テイラー教授の解説では、\( \frac{\left| \mathrm{\%Nsolve}\left(E , p\right)-p \right| }{2\,\sqrt{p}} \)が\( \frac{2}{\pi}\,\sqrt{1- x^2} \)の形に分布する、という形で予想が述べられており、そのグラフも示されています。
(その1)の記事で示したプログラムをほんのわずか変更するだけで、こちらのグラフを得ることができるので、それを示しておきます。ただしNsolveF(elc, p)は(その1)で与えられた形で定義されているとしています。
(%i1) elc:y^2=x^3-7*x-6;
$$ \tag{%o1} y^2=x^3-7\,x-6 $$
(%i2) sato_tate_no_acos(elc,minp,maxp):=block([res],
res:[ ],
for p:next_prime(minp-1) next next_prime(p) thru maxp do
(res:append([(p-NsolveF(elc,p))/(2*ev(sqrt(p),numer))],res),
if mod(p,1000)<5 then print(p)),
res)$
(%i3) compile(sato_tate_no_acos)$
(%i4) res:sato_tate_no_acos(elc,1,10000)$
(%i5) load(draw)$
(%i6) load(descriptive)$
(%i7) draw2d(proportional_axes=xy,
histogram_description(res,nclasses=20,frequency=density),
explicit(2/%pi*sqrt(1-x^2),x,-1,1),xrange=[-1,1]);
20万以下の素数について計算するともう少しきれいなグラフが得られます。
のp157より、
「相互法則と密度定理」リチャード・テイラー(伊藤哲史訳)
を参考にしました。