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Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-数学- 佐藤テイト予想(テイラーの定理)の計算による確認(その2)

キティーが一杯

 

佐藤テイト予想はもともと、\( \frac{\left| \mathrm{\%Nsolve}\left(E , p\right)-p \right| }{2\,\sqrt{p}}=\cos \vartheta_{p} \)を満たす\(\vartheta_{p} \)の分布という形で述べられています。

しかし、テイラー教授の解説では、\( \frac{\left| \mathrm{\%Nsolve}\left(E , p\right)-p \right| }{2\,\sqrt{p}} \)が\( \frac{2}{\pi}\,\sqrt{1- x^2} \)の形に分布する、という形で予想が述べられており、そのグラフも示されています。

(その1)の記事で示したプログラムをほんのわずか変更するだけで、こちらのグラフを得ることができるので、それを示しておきます。ただしNsolveF(elc, p)は(その1)で与えられた形で定義されているとしています。

(%i1) elc:y^2=x^3-7*x-6;
$$ \tag{%o1} y^2=x^3-7\,x-6 $$
(%i2) sato_tate_no_acos(elc,minp,maxp):=block([res],
res:[ ],
for p:next_prime(minp-1) next next_prime(p) thru maxp do
(res:append([(p-NsolveF(elc,p))/(2*ev(sqrt(p),numer))],res),
if mod(p,1000)<5 then print(p)),
res)$
(%i3) compile(sato_tate_no_acos)$
(%i4) res:sato_tate_no_acos(elc,1,10000)$
(%i5) load(draw)$
(%i6) load(descriptive)$
(%i7) draw2d(proportional_axes=xy,
    histogram_description(res,nclasses=20,frequency=density),
    explicit(2/%pi*sqrt(1-x^2),x,-1,1),xrange=[-1,1]);

f:id:jurupapa:20160514103536p:plain

20万以下の素数について計算するともう少しきれいなグラフが得られます。

f:id:jurupapa:20160518011713p:plain

 

数学のたのしみ〈2008最終号〉フォーラム:現代数学のひろがり 佐藤‐テイト予想の解決と展望

数学のたのしみ〈2008最終号〉フォーラム:現代数学のひろがり 佐藤‐テイト予想の解決と展望

 

 のp157より、

「相互法則と密度定理」リチャード・テイラー(伊藤哲史訳)

を参考にしました。

 

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