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-数学- アイヒラーによる谷山・志村対応の例

近所の林

 

もう一つ、谷山・志村対応の例を計算してみましょう。まず楕円曲線のmod pでの解の個数を数える関数を定義します。

(%i5) Nsolve(elc,p):=block([c:0,evelc],
for x:0 while x<p do
for y:0 while y<p do
(evelc:ev(elc), if 0=mod(rhs(evelc)-lhs(evelc),p) then c:c+1),
return (c))$

アイヒラーは次の楕円曲線のmod pでの解の個数が(%o8)の保型形式のp次の項に関係することを1954年の論文で証明しました。
(%i6) elc:y^2-y=x^3-x^2;
$$ \tag{%o6} y^2-y=x^3-x^2 $$

 

この楕円曲線のmod pでの解の個数とpとの差を100までの素数について求めてみます。
(%i7) block([res],res:[ ],
for p:2 next next_prime(p) thru 100 do res:append(res,p-Nsolve(elc,p),p),
res);
$$ \tag{%o7} \left[ \left[ -2 , 2 \right] , \left[ -1 , 3 \right] , \left[ 1 , 5 \right] , \left[ -2 , 7 \right] , \left[ 1 , 11 \right] , \left[ 4 , 13 \right] , \left[ -2 , 17 \right] , \left[ 0 , 19 \right] , \left[ -1 , 23 \right] , \left[ 0 , 29 \right] , \left[ 7 , 31 \right] , \left[ 3 , 37 \right] , \left[ -8 , 41 \right] , \left[ -6 , 43 \right] , \left[ 8 , 47 \right] , \left[ -6 , 53 \right] , \left[ 5 , 59 \right] , \left[ 12 , 61 \right] , \left[ -7 , 67 \right] , \left[ -3 , 71 \right] , \left[ 4 , 73 \right] , \left[ -10 , 79 \right] , \left[ -6 , 83 \right] , \left[ 15 , 89 \right] , \left[ -7 , 97 \right] \right] $$

 

次に対応する保型形式の係数を求めてみます。
(%i8) MF:q*product((1-q^n)^2*(1-q^(11*n))^2,n,1,inf);
$$ \tag{%o8} q\,\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-q^{n}\right)^2\,\left(1-q^{11\,n}\right)^2} $$
(%i9) powerdisp:true;
$$ \tag{%o9} \mathbf{true} $$
(%i10) qsexpand(MF,100);
$$ \tag{%o10} q-2\,q^2-q^3+2\,q^4+q^5+2\,q^6-2\,q^7-2\,q^9-2\,q^{10}+q^{11}-2\,q^{12}+4\,q^{13}+4\,q^{14}-q^{15}-4\,q^{16}-2\,q^{17}+4\,q^{18}+2\,q^{20}+2\,q^{21}-2\,q^{22}-q^{23}-4\,q^{25}-8\,q^{26}+5\,q^{27}-4\,q^{28}+2\,q^{30}+7\,q^{31}+8\,q^{32}-q^{33}+4\,q^{34}-2\,q^{35}-4\,q^{36}+3\,q^{37}-4\,q^{39}-8\,q^{41}-4\,q^{42}-6\,q^{43}+2\,q^{44}-2\,q^{45}+2\,q^{46}+8\,q^{47}+4\,q^{48}-3\,q^{49}+8\,q^{50}+2\,q^{51}+8\,q^{52}-6\,q^{53}-10\,q^{54}+q^{55}+5\,q^{59}-2\,q^{60}+12\,q^{61}-14\,q^{62}+4\,q^{63}-8\,q^{64}+4\,q^{65}+2\,q^{66}-7\,q^{67}-4\,q^{68}+q^{69}+4\,q^{70}-3\,q^{71}+4\,q^{73}-6\,q^{74}+4\,q^{75}-2\,q^{77}+8\,q^{78}-10\,q^{79}-4\,q^{80}+q^{81}+16\,q^{82}-6\,q^{83}+4\,q^{84}-2\,q^{85}+12\,q^{86}+15\,q^{89}+4\,q^{90}-8\,q^{91}-2\,q^{92}-7\,q^{93}-16\,q^{94}-8\,q^{96}-7\,q^{97}+6\,q^{98}-2\,q^{99} $$

 

(%o10)の素数次数の項の係数が(%o7)のリストに表れていることが分かります。

このアイヒラーさんの例は次の本の第3章 非可換類体論とは 例3.5, 命題3.5を参考にしました。

また多分これがアイヒラーさんの論文なのですが、読んでません。ドイツ語ですし、有料ですし、、、

Eichler, Martin (1954), “Quaternäre quadratische Formen und die Riemannsche Vermutung für die Kongruenzzetafunktion”, Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 5: 355–366 

This is a test.
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