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Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-数学- 2次無理数の判別式の保型性の証明

数学

ご機嫌です。

 

ある2次無理数 \( x \) に対して元の2次式の判別式の値を\( D\left(x\right) \)とします。今回は実数\( a,b,c,d \)が\( a\,d - b\,c=1 \)を満たすとき、

$$D\left(x\right)=D\left(\frac{b+a\,x}{c\,x+d}\right)$$

が成り立つことを示します。

 

前の記事と同じように、2次式から判別式を計算する関数DetEq(eq,v)を定義します。

$$ \tag{%o1} \mathrm{DetEq}\left(\mathrm{eq} , v\right):=\mathbf{block}\;\left(\left[ \mathrm{v2} , \mathrm{v1} , \mathrm{v0} \right] , \mathrm{v2}:\mathrm{coeff}\left(\mathrm{eq} , v , 2\right) , \mathrm{v1}:\mathrm{coeff}\left(\mathrm{eq} , v , 1\right) , \mathrm{v0}:\mathrm{coeff}\left(\mathrm{eq} , v , 0\right) , \mathrm{v1}^2-4\,\mathrm{v2}\,\mathrm{v0}\right) $$

一般の2次式をAとして定義します。
(%i2) A:a*x^2+b*x+c;
$$ \tag{%o2} a\,x^2+b\,x+c $$

判別式を求めてみましょう。
(%i3) DetEq(A,x);
$$ \tag{%o3} b^2-4\,a\,c $$

Aの中のxを
(%i4) (alpha*x+beta)/(gamma*x+delta);
$$ \tag{%o4} \frac{\beta+\alpha\,x}{x\,\gamma+\delta} $$

で置き換えてみます。ただし(%o5)が成り立つことを仮定します。
(%i5) Cond:alpha*delta-beta*gamma=1;
$$ \tag{%o5} \alpha\,\delta-\beta\,\gamma=1 $$

それでは置き換えを実行しましょう。
(%i6) A,x:(alpha*x+beta)/(gamma*x+delta);
$$ \tag{%o6} \frac{b\,\left(\beta+\alpha\,x\right)}{x\,\gamma+\delta}+\frac{a\,\left(\beta+\alpha\,x\right)^2}{\left(\delta+x\,\gamma\right)^2}+c $$

分母を払って展開しても根は変わりません。
(%i7) %*(gamma*x+delta)^2,expand;
$$ \tag{%o7} \frac{a\,\alpha^2\,x^4\,\gamma^2}{x^2\,\gamma^2+2\,\delta\,x\,\gamma+\delta^2}+\frac{2\,a\,\alpha\,\beta\,x^3\,\gamma^2}{x^2\,\gamma^2+2\,\delta\,x\,\gamma+\delta^2}+\frac{a\,\beta^2\,x^2\,\gamma^2}{x^2\,\gamma^2+2\,\delta\,x\,\gamma+\delta^2}+\frac{2\,a\,\alpha^2\,\delta\,x^3\,\gamma}{x^2\,\gamma^2+2\,\delta\,x\,\gamma+\delta^2}+\frac{4\,a\,\alpha\,\beta\,\delta\,x^2\,\gamma}{x^2\,\gamma^2+2\,\delta\,x\,\gamma+\delta^2}+\frac{2\,a\,\beta^2\,\delta\,x\,\gamma}{x^2\,\gamma^2+2\,\delta\,x\,\gamma+\delta^2}+\frac{a\,\alpha^2\,\delta^2\,x^2}{x^2\,\gamma^2+2\,\delta\,x\,\gamma+\delta^2}+\frac{2\,a\,\alpha\,\beta\,\delta^2\,x}{x^2\,\gamma^2+2\,\delta\,x\,\gamma+\delta^2}+\frac{a\,\beta^2\,\delta^2}{x^2\,\gamma^2+2\,\delta\,x\,\gamma+\delta^2}+\frac{\alpha\,b\,x^3\,\gamma^2}{x\,\gamma+\delta}+\frac{b\,\beta\,x^2\,\gamma^2}{x\,\gamma+\delta}+\frac{2\,\alpha\,b\,\delta\,x^2\,\gamma}{x\,\gamma+\delta}+\frac{2\,b\,\beta\,\delta\,x\,\gamma}{x\,\gamma+\delta}+\frac{\alpha\,b\,\delta^2\,x}{x\,\gamma+\delta}+\frac{b\,\beta\,\delta^2}{x\,\gamma+\delta}+c\,x^2\,\gamma^2+2\,c\,\delta\,x\,\gamma+c\,\delta^2 $$

整理してみましょう。
(%i8) ratsimp(%),expand;
$$ \tag{%o8} c\,x^2\,\gamma^2+\alpha\,b\,x^2\,\gamma+2\,c\,\delta\,x\,\gamma+b\,\beta\,x\,\gamma+a\,\alpha^2\,x^2+\alpha\,b\,\delta\,x+2\,a\,\alpha\,\beta\,x+c\,\delta^2+b\,\beta\,\delta+a\,\beta^2 $$

ではこの2次式の判別式を求めます。
(%i9) DetEq(%,x);
$$ \tag{%o9} \left(2\,a\,\alpha\,\beta+\alpha\,b\,\delta+b\,\beta\,\gamma+2\,c\,\delta\,\gamma\right)^2-4\,\left(a\,\beta^2+b\,\beta\,\delta+c\,\delta^2\right)\,\left(a\,\alpha^2+\alpha\,b\,\gamma+c\,\gamma^2\right) $$

まとめてみます。
(%i10) %,factor;
$$ \tag{%o10} -\left(4\,a\,c-b^2\right)\,\left(\beta\,\gamma-\alpha\,\delta\right)^2 $$

ここで\( \alpha\,\delta-\beta\,\gamma=1 \)を使ってみましょう。
(%i11) %,Cond*(-1);
$$ \tag{%o11} b^2-4\,a\,c $$

元の2次式Aの判別式と同じです!

 

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