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-数学- 2次無理数の判別式の保型性の証明

ご機嫌です。

 

ある2次無理数 \( x \) に対して元の2次式の判別式の値を\( D\left(x\right) \)とします。今回は整数\( \alpha,\beta,\gamma,\delta \)が\( \alpha\,\delta - \beta\,\gamma=1 \)を満たすとき、

$$D\left(x\right)=D\left(\frac{\alpha\,x+\beta}{\gamma\,x+\delta}\right)$$

が成り立つことを示します。

 

前の記事と同じように、2次式から判別式を計算する関数DetEq(eq,v)を定義します。

$$ \tag{%o1} \mathrm{DetEq}\left(\mathrm{eq} , v\right):=\mathbf{block}\;\left(\left[ \mathrm{v2} , \mathrm{v1} , \mathrm{v0} \right] , \mathrm{v2}:\mathrm{coeff}\left(\mathrm{eq} , v , 2\right) , \mathrm{v1}:\mathrm{coeff}\left(\mathrm{eq} , v , 1\right) , \mathrm{v0}:\mathrm{coeff}\left(\mathrm{eq} , v , 0\right) , \mathrm{v1}^2-4\,\mathrm{v2}\,\mathrm{v0}\right) $$

一般の2次式をAとして定義します。
(%i2) A:a*x^2+b*x+c;
$$ \tag{%o2} a\,x^2+b\,x+c $$

判別式を求めてみましょう。
(%i3) DetEq(A,x);
$$ \tag{%o3} b^2-4\,a\,c $$

\(x\)を一次分数変換したものを\(y\)とすると、
(%i4) modtrans:y=(alpha*x+beta)/(gamma*x+delta);
$$ \tag{%o4} y=\frac{\beta+\alpha\,x}{x\,\gamma+\delta} $$

となります。ただし(%o5)が成り立つことを仮定します。
(%i5) Cond:alpha*delta-beta*gamma=1;
$$ \tag{%o5} \alpha\,\delta-\beta\,\gamma=1 $$

\(x\)を\(y\)で表して、それを元の2次方程式に代入します。 

(%i6) solve(modtrans,x);
$$ \tag{%o6} \left[ x=-\frac{\delta\,y-\beta}{y\,\gamma-\alpha} \right] $$
(%i7) A,%;
$$ \tag{%o7} -\frac{b\,\left(\delta\,y-\beta\right)}{y\,\gamma-\alpha}+\frac{a\,\left(\delta\,y-\beta\right)^2}{\left(y\,\gamma-\alpha\right)^2}+c $$

これが\(y\)が満たす方程式になります。

分母を払えば2次方程式になります。
(%i8) %*(gamma*y-alpha)^2,expand,ratsimp;
$$ \tag{%o8} c\,y^2\,\gamma^2-b\,\delta\,y^2\,\gamma-2\,\alpha\,c\,y\,\gamma+b\,\beta\,y\,\gamma+a\,\delta^2\,y^2-2\,a\,\beta\,\delta\,y+\alpha\,b\,\delta\,y+\alpha^2\,c+a\,\beta^2-\alpha\,b\,\beta $$

この\(y\)の2次方程式の判別式を求めます。
(%i9) DetEq(%,y);
$$ \tag{%o9} \left(-2\,\alpha\,c\,\gamma+b\,\beta\,\gamma-2\,a\,\beta\,\delta+\alpha\,b\,\delta\right)^2-4\,\left(\alpha^2\,c+a\,\beta^2-\alpha\,b\,\beta\right)\,\left(c\,\gamma^2-b\,\delta\,\gamma+a\,\delta^2\right) $$

整理してみます。
(%i10) %,factor;
$$ \tag{%o10} -\left(4\,a\,c-b^2\right)\,\left(\beta\,\gamma-\alpha\,\delta\right)^2 $$

さらに(%o5)の条件を使うと、
(%i11) %,Cond*(-1);
$$ \tag{%o11} b^2-4\,a\,c $$

元の2次式Aの判別式と同じです!

 

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