Maxima で綴る数学の旅

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-Maxima入門- 積分入門 不定積分

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ケーキ

 

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不定積分はintegrate(f(x),x)という関数を使って行います。Maximaでintegrate()を使って不定積分を求める場合、いわゆる定数項は付きません。

 

まず、未定義関数の不定積分を求めると、名詞形でそのまま返ってきます。

(%i1) integrate(f(x),x);

 

$$ \tag{%o1}  \int {f\left(x\right)}{\;dx} $$

 

多項式積分します。

(%i2) integrate(x^2+3*x+1,x);

 

$$ \tag{%o2}  \frac{x^3}{3}+\frac{3\,x^2}{2}+x $$

 

因数分解された多項式積分出来ます。

(%i3) integrate((x+3)*(x-4),x);

 

$$ \tag{%o3}  \frac{2\,x^3-3\,x^2-72\,x}{6} $$

 

三角関数積分を行います。

(%i4) integrate(sin(theta)+cos(theta),theta);

 

$$ \tag{%o4}  \sin \vartheta-\cos \vartheta $$

 

指数関数を含む関数の積分を行ってみます。

(%i5) integrate(x/%e^x,x);

 

$$ \tag{%o5}  \left(-x-1\right)\,e^ {- x } $$

 

三角関数対数関数の合成関数の積分も出来るのです。

(%i6) integrate(sin(log(x)),x);

 

$$ \tag{%o6}  \frac{x\,\left(\sin \log x-\cos \log x\right)}{2} $$

 

abs(a)<1として、以下の積分を求めてみます。

(%i7) integrate(a/(a-sin(x)),x);

 

(*) Is  1-a^2 positive or negative?

positive;

 

$$ \tag{%o7}  \frac{a\,\log \left(\frac{\frac{2\,a\,\sin x}{\cos x+1}-2\,\sqrt{1-a^2}-2}{\frac{2\,a\,\sin x}{\cos x+1}+2\,\sqrt{1-a^2}-2}\right)}{\sqrt{1-a^2}} $$

 

abs(a)<1として、以下の積分を求めてみます。

(%i8) integrate((1-a^2)/(1-2*a*cos(x) +a^2),x);

 

(*) Is  (a-1)(a+1) zero or nonzero?

nonzero;

 

$$ \tag{%o8}  \frac{2\,\left(1-a^2\right)\,\arctan \left(\frac{\left(2\,a^2+4\,a+2\right)\,\sin x}{2\,\left(a^2-1\right)\,\left(\cos x+1\right)}\right)}{a^2-1} $$

 

結果が複雑なので、有理式としての簡約化を実行してみます。

(%i9) ratsimp(%);

 

$$ \tag{%o9}  -2\,\arctan \left(\frac{\left(a+1\right)\,\sin x}{\left(a-1\right)\,\cos x+a-1}\right) $$

 

この結果が正しいのかどうか、検算をしてみます。まず微分してから有理式の簡約化を実行してみます。

(%i10) ratsimp(diff(%,x));

 

$$ \tag{%o10}  -\frac{\left(2\,a^2-2\right)\,\sin ^2x+\left(2\,a^2-2\right)\,\cos ^2x+\left(2\,a^2-2\right)\,\cos x}{\left(a^2+2\,a+1\right)\,\sin ^2x+\left(a^2-2\,a+1\right)\,\cos ^2x+\left(2\,a^2-4\,a+2\right)\,\cos x+a^2-2\,a+1} $$

 

更に三角関数の簡約化を実行してみます。

(%i11) trigsimp(%);

 

ちゃんと一致しました。

$$ \tag{%o11}  \frac{a^2-1}{2\,a\,\cos x-a^2-1} $$

(%i12) 

This is a test.
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