ケーキ
不定積分はintegrate(f(x),x)という関数を使って行います。Maximaでintegrate()を使って不定積分を求める場合、いわゆる定数項は付きません。
まず、未定義関数の不定積分を求めると、名詞形でそのまま返ってきます。
(%i1) integrate(f(x),x);
$$ \tag{%o1} \int {f\left(x\right)}{\;dx} $$
(%i2) integrate(x^2+3*x+1,x);
$$ \tag{%o2} \frac{x^3}{3}+\frac{3\,x^2}{2}+x $$
(%i3) integrate((x+3)*(x-4),x);
$$ \tag{%o3} \frac{2\,x^3-3\,x^2-72\,x}{6} $$
(%i4) integrate(sin(theta)+cos(theta),theta);
$$ \tag{%o4} \sin \vartheta-\cos \vartheta $$
指数関数を含む関数の積分を行ってみます。
(%i5) integrate(x/%e^x,x);
$$ \tag{%o5} \left(-x-1\right)\,e^ {- x } $$
(%i6) integrate(sin(log(x)),x);
$$ \tag{%o6} \frac{x\,\left(\sin \log x-\cos \log x\right)}{2} $$
abs(a)<1として、以下の積分を求めてみます。
(%i7) integrate(a/(a-sin(x)),x);
(*) Is 1-a^2 positive or negative?
positive;
$$ \tag{%o7} \frac{a\,\log \left(\frac{\frac{2\,a\,\sin x}{\cos x+1}-2\,\sqrt{1-a^2}-2}{\frac{2\,a\,\sin x}{\cos x+1}+2\,\sqrt{1-a^2}-2}\right)}{\sqrt{1-a^2}} $$
abs(a)<1として、以下の積分を求めてみます。
(%i8) integrate((1-a^2)/(1-2*a*cos(x) +a^2),x);
(*) Is (a-1)(a+1) zero or nonzero?
nonzero;
$$ \tag{%o8} \frac{2\,\left(1-a^2\right)\,\arctan \left(\frac{\left(2\,a^2+4\,a+2\right)\,\sin x}{2\,\left(a^2-1\right)\,\left(\cos x+1\right)}\right)}{a^2-1} $$
結果が複雑なので、有理式としての簡約化を実行してみます。
(%i9) ratsimp(%);
$$ \tag{%o9} -2\,\arctan \left(\frac{\left(a+1\right)\,\sin x}{\left(a-1\right)\,\cos x+a-1}\right) $$
この結果が正しいのかどうか、検算をしてみます。まず微分してから有理式の簡約化を実行してみます。
(%i10) ratsimp(diff(%,x));
$$ \tag{%o10} -\frac{\left(2\,a^2-2\right)\,\sin ^2x+\left(2\,a^2-2\right)\,\cos ^2x+\left(2\,a^2-2\right)\,\cos x}{\left(a^2+2\,a+1\right)\,\sin ^2x+\left(a^2-2\,a+1\right)\,\cos ^2x+\left(2\,a^2-4\,a+2\right)\,\cos x+a^2-2\,a+1} $$
更に三角関数の簡約化を実行してみます。
(%i11) trigsimp(%);
ちゃんと一致しました。
$$ \tag{%o11} \frac{a^2-1}{2\,a\,\cos x-a^2-1} $$
(%i12)