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Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-数学- 約数のk乗和の母関数

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ランベルト級数の式変形と関係して約数のk乗和の母関数が登場しました。その辺の計算をしてみます。

ではまずMaximaでの表示をきれいにするための準備です。powerdispl:trueとすると級数を次数の昇冪順に表示します。またtexput()でdivsum()をσで表示できるようにします。

(%i1) (kill(labels),powerdisp:true);
$$ \tag{%o0} \mathbf{true} $$
(%i1) texput(divsum,lambda([e],block([num,index],
[num,index]:args(e),
concat("\\sigma_{",tex1(index),"}(",num,")"))))$

以下の(%o2)が成り立つのですが、その理由を計算で示してみます。
(%i2) sum(sum(n^k*q^(m*n),n,1,inf),m,1,inf)=sum(divsum(n,k)*q^n,n,1,inf);
$$ \tag{%o2} \sum_{m=1}^{\infty }{\sum_{n=1}^{\infty }{n^{k}\,q^{m\,n}}}=\sum_{n=1}^{\infty }{\sigma_{k}(n)\,q^{n}} $$

左辺を有限和に書き直して、有限項で計算してみます。

(%i3) sum(sum(n^k*q^(m*n),n,1,K),m,1,K);
$$ \tag{%o3} \sum_{m=1}^{K}{\sum_{n=1}^{K}{n^{k}\,q^{m\,n}}} $$

和の順番を入れ替えてから、K=10としてみます。
(%i4) sum(sum(n^k*q^(m*n),m,1,K),n,1,K);
$$ \tag{%o4} \sum_{n=1}^{K}{n^{k}\,\sum_{m=1}^{K}{q^{m\,n}}} $$
(%i5) %,K:10,nouns;
$$ \tag{%o5} q+q^2+q^3+q^4+q^5+q^6+q^7+q^8+q^9+q^{10}+\\2^{k}\,\left(q^2+q^4+q^6+q^8+q^{10}+q^{12}+q^{14}+q^{16}+q^{18}+q^{20}\right)+\\3^{k}\,\left(q^3+q^6+q^9+q^{12}+q^{15}+q^{18}+q^{21}+q^{24}+q^{27}+q^{30}\right)+\\4^{k}\,\left(q^4+q^8+q^{12}+q^{16}+q^{20}+q^{24}+q^{28}+q^{32}+q^{36}+q^{40}\right)+\\5^{k}\,\left(q^5+q^{10}+q^{15}+q^{20}+q^{25}+q^{30}+q^{35}+q^{40}+q^{45}+q^{50}\right)+\\6^{k}\,\left(q^6+q^{12}+q^{18}+q^{24}+q^{30}+q^{36}+q^{42}+q^{48}+q^{54}+q^{60}\right)+\\7^{k}\,\left(q^7+q^{14}+q^{21}+q^{28}+q^{35}+q^{42}+q^{49}+q^{56}+q^{63}+q^{70}\right)+\\8^{k}\,\left(q^8+q^{16}+q^{24}+q^{32}+q^{40}+q^{48}+q^{56}+q^{64}+q^{72}+q^{80}\right)+\\9^{k}\,\left(q^9+q^{18}+q^{27}+q^{36}+q^{45}+q^{54}+q^{63}+q^{72}+q^{81}+q^{90}\right)+\\10^{k}\,\left(q^{10}+q^{20}+q^{30}+q^{40}+q^{50}+q^{60}+q^{70}+q^{80}+q^{90}+q^{100}\right) $$

これは(%o4)を素直に展開した式になっています。そこで全部展開してqの級数としてまとめてみます。
(%i6) rat(expand(%));

$$ \tag{%o6} q+\left(1+2^{k}\right)\,q^2+\left(1+3^{k}\right)\,q^3+\left(1+2^{k}+4^{k}\right)\,q^4+\left(1+5^{k}\right)\,q^5+\left(1+2^{k}+3^{k}+6^{k}\right)\,q^6+\left(1+7^{k}\right)\,q^7+\left(1+2^{k}+4^{k}+8^{k}\right)\,q^8+\left(1+3^{k}+9^{k}\right)\,q^9+\left(1+2^{k}+5^{k}+10^{k}\right)\,q^{10}+\left(2^{k}+3^{k}+4^{k}+6^{k}\right)\,q^{12}+\left(2^{k}+7^{k}\right)\,q^{14}+\left(3^{k}+5^{k}\right)\,q^{15}+\left(2^{k}+4^{k}+8^{k}\right)\,q^{16}+\left(2^{k}+3^{k}+6^{k}+9^{k}\right)\,q^{18}+\left(2^{k}+4^{k}+5^{k}+10^{k}\right)\,q^{20}+\left(3^{k}+7^{k}\right)\,q^{21}+\left(3^{k}+4^{k}+6^{k}+8^{k}\right)\,q^{24}+5^{k}\,q^{25}+\left(3^{k}+9^{k}\right)\,q^{27}+\left(4^{k}+7^{k}\right)\,q^{28}+\left(3^{k}+5^{k}+6^{k}+10^{k}\right)\,q^{30}+\left(4^{k}+8^{k}\right)\,q^{32}+\left(5^{k}+7^{k}\right)\,q^{35}+\left(4^{k}+6^{k}+9^{k}\right)\,q^{36}+\left(4^{k}+5^{k}+8^{k}+10^{k}\right)\,q^{40}+\left(6^{k}+7^{k}\right)\,q^{42}+\left(5^{k}+9^{k}\right)\,q^{45}+\left(6^{k}+8^{k}\right)\,q^{48}+7^{k}\,q^{49}+\left(5^{k}+10^{k}\right)\,q^{50}+\left(6^{k}+9^{k}\right)\,q^{54}+\left(7^{k}+8^{k}\right)\,q^{56}+\left(6^{k}+10^{k}\right)\,q^{60}+\left(7^{k}+9^{k}\right)\,q^{63}+8^{k}\,q^{64}+\left(7^{k}+10^{k}\right)\,q^{70}+\left(8^{k}+9^{k}\right)\,q^{72}+\left(8^{k}+10^{k}\right)\,q^{80}+9^{k}\,q^{81}+\left(9^{k}+10^{k}\right)\,q^{90}+10^{k}\,q^{100} $$

最初の10項だけにしてよく見てみましょう。
(%i7) rest(%,10-length(%));
$$ \tag{%o7} q+\left(1+2^{k}\right)\,q^2+\left(1+3^{k}\right)\,q^3+\left(1+2^{k}+4^{k}\right)\,q^4+\left(1+5^{k}\right)\,q^5+\left(1+2^{k}+3^{k}+6^{k}\right)\,q^6+\left(1+7^{k}\right)\,q^7+\left(1+2^{k}+4^{k}+8^{k}\right)\,q^8+\left(1+3^{k}+9^{k}\right)\,q^9+\left(1+2^{k}+5^{k}+10^{k}\right)\,q^{10} $$

\( q^n \) の係数は確かにnの約数のk乗の和になっています。(%o5)をよく見て、\( q^n \) の係数の各項がどこから来ているのか確認してください。

ちなみに(%o2)の右辺の最初の10校を求めてみると以下のようになります。

(%i8) sum(divsum(n,k)*q^n,n,1,10);
$$ \tag{%o8} \sigma_{k}(1)\,q+\sigma_{k}(2)\,q^2+\sigma_{k}(3)\,q^3+\sigma_{k}(4)\,q^4+\sigma_{k}(5)\,q^5+\sigma_{k}(6)\,q^6+\sigma_{k}(7)\,q^7+\sigma_{k}(8)\,q^8+\sigma_{k}(9)\,q^9+\sigma_{k}(10)\,q^{10} $$

This is a test.
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