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Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-数学- アイゼンシュタイン級数がモジュラー形式であること

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いつものようにアイゼンシュタイン級数を(%i1)で定義します。

(%i1) Ez1:Ez[k](z)=lsum(1/(m*z+n)^k, mn,Z^2);
$$ \tag{%o1} \mathrm{Ez}_{k}(z)=\sum_{\mathrm{mn}\in{Z^2}}{\frac{1}{\left(m\,z+n\right)^{k}}} $$
(%i2) modu:a*d-b*c=1;
$$ \tag{%o2} a\,d-b\,c=1 $$

アイゼンシュタイン級数に上記(%o2)のような性質を持つ一次分数変換を施してみます。

(%i3) Ez1,z:(a*z+b)/(c*z+d);
$$ \tag{%o3} \mathrm{Ez}_{k}(\frac{a\,z+b}{c\,z+d})=\sum_{\mathrm{mn}\in{Z^2}}{\frac{1}{\left(\frac{m\,\left(a\,z+b\right)}{c\,z+d}+n\right)^{k}}} $$

radcan()を使って整理します。
(%i4) Ez2:radcan(%);
$$ \tag{%o4} \mathrm{Ez}_{k}(\frac{a\,z+b}{c\,z+d})=\sum_{\mathrm{mn}\in{Z^2}}{\frac{\left(c\,z+d\right)^{k}}{\left(\left(c\,n+a\,m\right)\,z+d\,n+b\,m\right)^{k}}} $$

(%o4)の右辺の分母をよく見るとzの一次式になっており、zの係数は\( c\,n+a\,m \), 定数は\( d\,n+b\,m \) です。実はこの係数をA, 定数をBと置くと、n, mが(0,0)以外の任意の整数の組を走るとき、A,Bも(0,0)を除く任意の整数の組を走ります。

確認のためにその関係を表す式を連立方程式と思い、m, nについて解いてみます。

(%i5) solve([A=c*n+a*m, B=d*n+b*m],[m,n]);
$$ \tag{%o5} \left[ \left[ m=-\frac{d\,A-c\,B}{b\,c-a\,d} , n=\frac{b\,A-a\,B}{b\,c-a\,d} \right] \right] $$

(%i6) %,modu*(-1);

結果をさらに整理します。
$$ \tag{%o6} \left[ \left[ m=d\,A-c\,B , n=a\,B-b\,A \right] \right] $$
つまりA,Bを定めればそれを導くm, nが上記の式で求まるわけです。

念のため、この解を(%o4)に代入して整理してみます。

(%i7) Ez2,%;
$$ \tag{%o7} \mathrm{Ez}_{k}(\frac{a\,z+b}{c\,z+d})=\sum_{\mathrm{mn}\in{Z^2}}{\frac{\left(c\,z+d\right)^{k}}{\left(z\,\left(a\,\left(d\,A-c\,B\right)+c\,\left(a\,B-b\,A\right)\right)+b\,\left(d\,A-c\,B\right)+d\,\left(a\,B-b\,A\right)\right)^{k}}} $$
(%i8) ratsimp(%);
$$ \tag{%o8} \mathrm{Ez}_{k}(\frac{a\,z+b}{c\,z+d})=\sum_{\mathrm{mn}\in{Z^2}}{\frac{\left(c\,z+d\right)^{k}}{\left(\left(a\,d-b\,c\right)\,B+\left(a\,d-b\,c\right)\,z\,A\right)^{k}}} $$
(%i9) %,modu;
$$ \tag{%o9} \mathrm{Ez}_{k}(\frac{a\,z+b}{c\,z+d})=\sum_{\mathrm{mn}\in{Z^2}}{\frac{\left(c\,z+d\right)^{k}}{\left(B+z\,A\right)^{k}}} $$

mnはABに直しておきます。
(%i10) modify_part(%,lambda([exp],AB),2,2);
$$ \tag{%o10} \mathrm{Ez}_{k}(\frac{a\,z+b}{c\,z+d})=\sum_{\mathrm{AB}\in{Z^2}}{\frac{\left(c\,z+d\right)^{k}}{\left(B+z\,A\right)^{k}}} $$

結局以下の式が成り立つことがわかります。
(%i11) lhs(%)=(c*z+d)^k*Ez[k](z);
$$ \tag{%o11} \mathrm{Ez}_{k}(\frac{a\,z+b}{c\,z+d})=\left(c\,z+d\right)^{k}\,\mathrm{Ez}_{k}(z) $$

これはアイゼンシュタイン級数が重さkのモジュラー形式であることを示しています。

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