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Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-数学- アイゼンシュタイン級数

数学

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アイゼンシュタイン級数、ご存知ですか?少し進んだ数論を勉強すると保型形式、モジュラー形式、などの用語に触れると思いますが、その最も具体的な対象で、分かり易い定義を持つものがこのアイゼンシュタイン級数です。

$$\sum_{\left(m,\,n\right)\in{Z^2}}{\frac{1}{\left(m\,z+n\right)^{k}}}$$

ただし、 \( \left(m, \,n\right)=\left(0,\,0\right) \) は除きます(分母が0になるので)。

 

ちなみにこの級数はzを複素数とするとき上半平面(z=a+bi, b>0)で定義され、絶対収束します。従って自由に足す順番を変更できます。kは4以上の偶数。(m,n)はm-n平面上の格子点で(0,0)以外の全ての点を渡ります。これをmaximaのsum()関数で書くために、8つの和に分割します。S1〜S4は第1象限〜第4象限の格子点、S5〜S8は軸上の格子点に渡る和です。

(%i1) S1:sum(sum(1/(m*z+n)^k,m,1,M),n,1,N);
$$ \tag{%o1} \sum_{n=1}^{N}{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{\left(m\,z+n\right)^{k}}}} $$
(%i2) S2:sum(sum(1/(-m*z+n)^k,m,1,M),n,1,N);
$$ \tag{%o2} \sum_{n=1}^{N}{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{\left(n-m\,z\right)^{k}}}} $$
(%i3) S3:sum(sum(1/(-m*z-n)^k,m,1,M),n,1,N);
$$ \tag{%o3} \sum_{n=1}^{N}{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{\left(-m\,z-n\right)^{k}}}} $$
(%i4) S4:sum(sum(1/(m*z-n)^k,m,1,M),n,1,N);
$$ \tag{%o4} \sum_{n=1}^{N}{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{\left(m\,z-n\right)^{k}}}} $$
(%i5) S5:ev(sum(1/(m*z+n)^k,m,1,M),n:0);
$$ \tag{%o5} \frac{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{m^{k}}}}{z^{k}} $$
(%i6) S6:ev(sum(1/(-m*z+n)^k,m,1,M),n:0);
$$ \tag{%o6} \frac{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{m^{k}}}}{\left(-z\right)^{k}} $$
(%i7) S7:sum(ev(1/(m*z+n)^k,m:0),n,1,N);
$$ \tag{%o7} \sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{n^{k}}} $$
(%i8) S8:sum(ev(1/(m*z-n)^k,m:0),n,1,N);
$$ \tag{%o8} \frac{\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{n^{k}}}}{\left(-1\right)^{k}} $$

この8つの和を足したものはアイゼンシュタイン級数の定義と一致します。ここではそれをEis()として定義してみます。後で使いやすくするため、m,nの範囲をM,Nで制限した有限和の形で定義します。
(%i9) define(Eis(z,k,M,N),S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8);
$$ \tag{%o9} \mathrm{Eis}\left(z , k , M , N\right):=\sum_{n=1}^{N}{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{\left(m\,z+n\right)^{k}}}}+\sum_{n=1}^{N}{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{\left(m\,z-n\right)^{k}}}}+\sum_{n=1}^{N}{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{\left(n-m\,z\right)^{k}}}}+\sum_{n=1}^{N}{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{\left(-m\,z-n\right)^{k}}}}+\frac{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{m^{k}}}}{z^{k}}+\frac{\sum_{m=1}^{M}{\frac{1}{m^{k}}}}{\left(-z\right)^{k}}+\frac{\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{n^{k}}}}{\left(-1\right)^{k}}+\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{n^{k}}} $$

以下のようにEis()を呼び出せば、無限和としても利用できます。
(%i10) Eis(z,k,inf,inf);
$$ \tag{%o10} \sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(m\,z+n\right)^{k}}}}+\sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(m\,z-n\right)^{k}}}}+\sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(n-m\,z\right)^{k}}}}+\sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(-m\,z-n\right)^{k}}}}+\frac{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{m^{k}}}}{z^{k}}+\frac{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{m^{k}}}}{\left(-z\right)^{k}}+\frac{\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n^{k}}}}{\left(-1\right)^{k}}+\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n^{k}}} $$

ちなみにkが偶数である理由を知るために、kに奇数(例えば5)を代入してみます。
(%i11) %,k:5;
$$ \tag{%o11} \sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(m\,z+n\right)^5}}}+\sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(m\,z-n\right)^5}}}+\sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(n-m\,z\right)^5}}}+\sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(-m\,z-n\right)^5}}} $$

整理すると、
(%i12) map(factor,%);
$$ \tag{%o12} 0 $$

と全ての項が打ち消しあって0になってしまうのです。

今度は偶数(例えば4)を代入してみます。
(%i13) Eis(z,4,inf,inf);
$$ \tag{%o13} \sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(m\,z+n\right)^4}}}+\sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(m\,z-n\right)^4}}}+\sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(n-m\,z\right)^4}}}+\sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(-m\,z-n\right)^4}}}+\frac{2\,\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{m^4}}}{z^4}+2\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n^4}} $$

整理してみます。
(%i14) map(factor,%);
$$ \tag{%o14} 2\,\sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(m\,z+n\right)^4}}}+2\,\sum_{n=1}^{\infty }{\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{\left(m\,z-n\right)^4}}}+\frac{2\,\sum_{m=1}^{\infty }{\frac{1}{m^4}}}{z^4}+2\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n^4}} $$

3番目と4番目の項にζ(4)が現れています。

This is a test.
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