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Maxima で綴る数学の旅

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-数学- オイラーの五角数定理

数学

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オイラーの五角数定理の証明はヤコビの3重積公式を仮定すれば簡単に導くことができます。まずヤコビの3重積公式の定義です。

準備としてQ(x), R(X,z), P(x,z), S1(x,z), S(x,z)を順に定義します。

(%i1) Q(x):=product(1-x^(2*n),n,1,inf);
$$ \tag{%o1} Q\left(x\right):=\mathrm{product}\left(1-x^{2\,n} , n , 1 , \infty \right) $$
(%i2) R(x,z):=product(1+x^(2*n-1)*z,n,1,inf);
$$ \tag{%o2} R\left(x , z\right):=\mathrm{product}\left(1+x^{2\,n-1}\,z , n , 1 , \infty \right) $$
(%i3) P(x,z):=Q(x)*R(x,z)*R(x,1/z);
$$ \tag{%o3} P\left(x , z\right):=Q\left(x\right)\,R\left(x , z\right)\,R\left(x , \frac{1}{z}\right) $$
(%i4) S1(x,z):=sum(a(x,n)*z^n,n,minf,inf);
$$ \tag{%o4} \mathrm{S1}\left(x , z\right):=\mathrm{sum}\left(a\left(x , n\right)\,z^{n} , n , -\infty , \infty \right) $$
(%i5) define(S(x,z),ev(S1(x,z),a(x,n):=x^(n^2)));
$$ \tag{%o5} S\left(x , z\right):=\sum_{n= -\infty }^{\infty }{x^{n^2}\,z^{n}} $$

次の(%o6)がヤコビの3重積公式です。
(%i6) P(x,z)=S(x,z);
$$ \tag{%o6} \left(\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-x^{2\,n}\right)}\right)\,\left(\prod_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{x^{2\,n-1}}{z}+1\right)}\right)\,\prod_{n=1}^{\infty }{\left(x^{2\,n-1}\,z+1\right)}=\sum_{n= -\infty }^{\infty }{x^{n^2}\,z^{n}} $$

 

ここからオイラーの五角数定理を導きます。xにq^(3/2)、zに-q^(-1/2)を代入します。

(%i7) F:%,x:q^(3/2),z:-q^(-1/2);
$$ \tag{%o7} \left(\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-q^{3\,n}\right)}\right)\,\left(\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-q^{\frac{3\,\left(2\,n-1\right)}{2}-\frac{1}{2}}\right)}\right)\,\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-q^{\frac{3\,\left(2\,n-1\right)}{2}+\frac{1}{2}}\right)}=\sum_{n= -\infty }^{\infty }{\left(-1\right)^{n}\,q^{\frac{3\,n^2}{2}-\frac{n}{2}}} $$

指数部分を整理するために簡単なルールを定義して、上記に適用します。
(%i8) matchdeclare(f,true)$
(%i9) defrule(expsimp,q^f,q^ratsimp(f));
$$ \tag{%o9} \mathrm{expsimp}:q^{f}\rightarrow q^{\mathrm{ratsimp}\left(f\right)} $$
(%i10) apply1(F,expsimp);
$$ \tag{%o10} \left(\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-q^{3\,n}\right)}\right)\,\left(\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-q^{3\,n-2}\right)}\right)\,\prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-q^{3\,n-1}\right)}=\sum_{n= -\infty }^{\infty }{\left(-1\right)^{n}\,q^{\frac{3\,n^2-n}{2}}} $$

この左辺のqの指数部分を見ると、3カ所がそれぞれ、3の倍数、3で割って1余る数、3で割って2余る数、となっています。つまり、これら3つを合わせれば全ての自然数が現れます。つまり次の式が成り立ちます。
(%i11) product(1-q^n,n,1,inf)=rhs(%);
$$ \tag{%o11} \prod_{n=1}^{\infty }{\left(1-q^{n}\right)}=\sum_{n= -\infty }^{\infty }{\left(-1\right)^{n}\,q^{\frac{3\,n^2-n}{2}}} $$

 

この最後の%o11がオイラーの5角数定理になります。

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