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Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

Q.E. 40連発

数学

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Q.E.をどんどんやってみました。

(%i1) load(qepmax);
$$ \tag{%o1} \verb|/Users/yasube/Programming/qepmax/qepmax.mac| $$

変数が自由変数のみからなる例です。不等式の同値変形を計算することができます。

まず1次不等式。

(%i2) qe([ ],3*x+4>-2*x+1);
$$ \tag{%o2} 5\,x+3>0 $$

連立1次不等式。
(%i3) qe([ ],3*x+4>-2*x+1 %and -2*x+1>-x+1);
$$ \tag{%o3} \left(x<0\right) \wedge \left(5\,x+3>0\right) $$

2次不等式。
(%i4) qe([ ],x^2+x-6<0);
$$ \tag{%o4} \left(x-2<0\right) \wedge \left(x+3>0\right) $$

整係数に因数分解出来ない2次不等式。
(%i5) qe([ ],x^2-3>0);
$$ \tag{%o5} x^2-3>0 $$

下記の有理式が成り立つための \( a \)の条件。
(%i6) qe([ ],a+1/a>=2);

$$ \tag{%o6} a>0 $$

正の数同士の相加平均、相乗平均(の2乗)。
(%i7) qe([ ],(a>0 %and b>0) %implies ((a+b)/2)^2>=a*b);
$$ \tag{%o7} \mathbf{true} $$

この不等式が成り立つためのa,bの条件を求めよ。
(%i8) qe([ ],a^2-a*b+b^2>=0);
$$ \tag{%o8} \mathbf{true} $$

trueなので、無条件に成り立つ。

a,b,cが正として以下の不等式が成り立つためのa,b,cの条件を求めよ。

(%i9) qe([ ],(a>0 %and b>0 %and c>0) %implies (a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)>=9);
$$ \tag{%o9} \mathbf{true} $$

線形計画法。いかが成り立つことを示せ。
(%i10) qe([ ],(y>-x+1 %and y>x+1) %implies y>1);
$$ \tag{%o10} \mathbf{true} $$

以下の不等式が成り立つためのa,b,x,yの条件を求めよ。
(%i11) qe([ ],(a^2+b^2)*(x^2+y^2)>=(a*x+b*y)^2);
$$ \tag{%o11} \mathbf{true} $$

条件Cをx,y,zのいずれも絶対値が1未満とする。
(%i12) C:-1<x %and x<1 %and -1<y %and y<1 %and -1<z %and z<1;
$$ \tag{%o12} \left(-1<x\right) \wedge \left(-1<y\right) \wedge \left(-1<z\right) \wedge \left(x<1\right) \wedge \left(y<1\right) \wedge \left(z<1\right) $$

条件Cの元で以下の不等式が成り立つことを示せ。
(%i13) qe([ ],C %implies x*y+1>x+y);
$$ \tag{%o13} \mathbf{true} $$

以下の不等式が成り立つためのa,bの条件を求めよ。
(%i14) qe([ ],a^2+b^2>(a-1)*(b+1));
$$ \tag{%o14} \mathbf{true} $$

以下の不等式が成り立つためのx,y,zの条件を求めよ。
(%i15) qe([ ],x^2+x*z+z^2+3*y*(x+y+z)>=0);
$$ \tag{%o15} \mathbf{true} $$

以下の不等式が成り立つためのa,b,cの条件を求めよ。
(%i16) qe([ ],a^2+b^2+c^2-(a*b+b*c+c*a)>=0);
$$ \tag{%o16} \mathbf{true} $$

xが正の時以下の不等式が成り立つことを示せ。
(%i17) qe([ ],x>0 %implies (x^2+x+4)/x>=5);
$$ \tag{%o17} \mathbf{true} $$

以下の有理不等式が必ず成り立つことを示せ。
(%i18) qe([ ],x^2-4*x+9+25/(x^2-4*x+9)>=10);
$$ \tag{%o18} \mathbf{true} $$

以下の2元2次不等式が成り立つことを示せ。
(%i19) qe([ ],x^2+3*y^2>=3*x*y);
$$ \tag{%o19} \mathbf{true} $$

a,b>0ならば相加相乗平均。
(%i20) qe([[E,c]],(a>0 %and b>0) %implies ((a+b)/2>=c %and c^2=a*b));
$$ \tag{%o20} \mathbf{true} $$

線形計画法でyの最小値を求めよ。
(%i21) qe([[A,x],[A,y]],(y>-x+1 %and y>x+1) %implies y>a);
$$ \tag{%o21} a-1\leq 0 $$

有理不等式で、aが正の時、bの範囲を求めよ。
(%i22) qe([[A,a]],a>0 %implies a+1/a>=b);
$$ \tag{%o22} b-2\leq 0 $$

下記の有理式の範囲を求めよ。
(%i23) qe([[E,a],[E,b]],(6*a+1/b)*(1/(3*a)+2*b)=m);
$$ \tag{%o23} \left(m-8\geq 0\right) \lor \left(m\leq 0\right) $$

下記の2次式の範囲を求めよ。
(%i24) qe([[E,x]],2*x^2-4*x-3=m);
$$ \tag{%o24} m+5\geq 0 $$

この不等式が成り立つようにaを定めよ。
(%i25) qe([[A,x],[A,y]],(x>a %and y>a) %implies x*y>x+y);
$$ \tag{%o25} a-2\geq 0 $$

条件C (a,b,cの絶対値が1未満)の時この不等式が成り立つようにaを定めよ。
(%i26) qe([[A,x],[A,y],[A,z]],C %implies x*y*z+a>x+y+z);

$$ \tag{%o26} a-2\geq 0 $$

xが正の時有理式の最小値を求めよ。

(%i27) qe([[A,x]],x>1 %implies 9*x+4/(x-1)>=a);

$$ \tag{%o27} a-21\leq 0 $$

a,b正でa+b=1のとき、不等式が成り立つことを示せ。
(%i28) qe([[A,x],[A,y]],(a>0 %and b>0 %and a+b=1) %implies a*x^2+b*y^2>=(a*x+b*y)^2);
$$ \tag{%o28} \mathbf{true} $$

関数sqrt(x)が凸関数であることを示せ。
(%i29) qe([[E,m],[E,n],[E,c]],(a>0 %and b>0) %implies (m^2=a %and n^2=b %and c^2=a+b %and m+n>c));
$$ \tag{%o29} \mathbf{true} $$

どんなxについても成り立つようにmを定めよ。
(%i30) qe([[A,x]],m*x^2+(m-1)*x+m-1>0);
$$ \tag{%o30} m-1>0 $$

どんなxについても成り立つようにa,bを定めよ。

(%i31) qe([[A,x]],f(x)-g(x)<0),f(x):=a*x^2-b*x-2, g(x):=2*x^2+b*x+a;
$$ \tag{%o31} \left(a-2=0\right) \lor \left(b^2+a^2-4<0\right) \wedge \left(b^2+a^2-4\leq 0\right) $$

どんなaについても必ず解があるためのb,cの条件を求めよ。
(%i32) qe([[A,a],[E,x]],x^2+(2*a+1)*x+a^2+a*b+c^2=0);
$$ \tag{%o32} \left(b-1=0\right) \wedge \left(2\,c-1\leq 0\right) \wedge \left(2\,c+1\geq 0\right) $$

abs(x)<1の時不等式が成り立つためのaの条件を求めよ。

(%i33) qe([[A,x]],(-1<x %and x<1) %implies a*x+2*a+1>0);
$$ \tag{%o33} 3\,a+1\geq 0 $$

aが条件を満たすとき、不等式が成り立つためのxの条件を求めよ。
(%i34) qe([[A,a]],(-1/6<a %and a<1) %implies a*x+2*a+1>0);
$$ \tag{%o34} \left(x-4\leq 0\right) \wedge \left(x+3\geq 0\right) $$

0<x<1のとき不等式が成り立つようにaを定めよ。
(%i35) qe([[A,x]],(0<x %and x<1) %implies 2*x^2-(a-4)*x-a*(a-2)<0);
$$ \tag{%o35} \left(a-3\geq 0\right) \lor \left(a+2\leq 0\right) $$

abs(x)<1のとき、どちら向きの不等式も解を持つようにaを定めよ。
(%i36) qe([ ],qe([[E,x]],(-1<x %and x<1) %and a*x+2*a+1>0) %and qe([[E,x]],(-1<x %and x<1) %and a*x+2*a+1<0));
$$ \tag{%o36} \left(a+1>0\right) \wedge \left(3\,a+1<0\right) $$

(x,y)が単位円周上にあるとき、x*yの範囲を求めよ。
(%i37) qe([[E,x],[E,y]],x^2+y^2=1 %and m=x*y);
$$ \tag{%o37} \left(2\,m-1\leq 0\right) \wedge \left(2\,m+1\geq 0\right) $$

単位円と直線が交わるようにbを定めよ。
(%i38) qe([[E,x],[E,y]],x^2+y^2=1 %and y=x+b);

$$ \tag{%o38} b^2-2\leq 0 $$

放物線と直線が交わるようにbを定めよ。
(%i39) qe([[E,x],[E,y]],y=x^2 %and y=x+b);
$$ \tag{%o39} 4\,b+1\geq 0 $$

2つの放物線が交わるようにaを定めよ。
(%i40) qe([[E,x],[E,y]],y=x^2 %and y=-(x-a)^2+2);
$$ \tag{%o40} \left(a-2\leq 0\right) \wedge \left(a+2\geq 0\right) $$

常に不等式が成り立つようにkを定めよ。
(%i41) qe([[A,x]],x^2-k*x+k+1>0);
$$ \tag{%o41} k^2-4\,k-4<0 $$

この不等式の解が2<x<5となるようにa,bを定めよ。
(%i42) qe([[A,x]],(a*x^2+b*x-10>0) %eq (2<x %and x<5));
$$ \tag{%o42} \left(b-7=0\right) \wedge \left(b+2\,a-5=0\right) $$

(%i43) solve([part(%,1),part(%,2)],[a,b]);
$$ \tag{%o43} \left[ \left[ a=-1 , b=7 \right] \right] $$

This is a test.
天気