Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-数学- Q.E.の例題 東北大2010年理系入試問題より

 

 

 

QEの計算アルゴリズムとその応用―数式処理による最適化

QEの計算アルゴリズムとその応用―数式処理による最適化

 

 

 

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上記の本のp33に載っている東北大2010年理系の入試問題をQepmaxで解いてみます。

「 \( f(x)=x^3+3\,x^2-9\,x \) とする。\( y < x < a \) を満たす全てのx,yについて条件 \( f(x)>((x-y)\,f(a)+(a-x)\,f(y))/(a-y) \) が成り立つようなaの範囲を求めよ。」

最初にqepmaxパッケージを読み込みます。

(%i1) load("qepmax.mac")$

関数f(x)を定義します。

(%i2) f(x):=x^3+3*x^2-9*x;

$$ \tag{%o2} f\left(x\right):=x^3+3\,x^2+\left(-9\right)\,x $$

条件を定義しCという名前を付けます。

(%i3) C:'(f(x)>((x-y)*f(a)+(a-x)*f(y))/(a-y));

$$ \tag{%o3} f\left(x\right)>\frac{\left(a-x\right)\,f\left(y\right)+f\left(a\right)\,\left(x-y\right)}{a-y} $$

条件Cにf(x)の定義を代入します。

(%i4) C:C,nouns;

$$ \tag{%o4} x^3+3\,x^2-9\,x>\frac{\left(a-x\right)\,\left(y^3+3\,y^2-9\,y\right)+\left(a^3+3\,a^2-9\,a\right)\,\left(x-y\right)}{a-y} $$

問題文を少し読み替えると、全てのx, yについて \( y < x < a \) ならばCが成立するようにaを定めよ、となります。この通りに論理式を書くとA x, A y, y<x<a ==> Cです。ではQ.E.してみましょう。

(%i5) qe([[A,x],[A,y]], (y<x %and x<a) %implies C);

$$ \tag{%o5} a+1\leq 0 $$

 

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