Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-数学- 量限定子除去の続き

f:id:jurupapa:20140402094830j:plain

にほんブログ村 科学ブログ 数学へ
にほんブログ村

この3次関数のグラフをもう少し研究してみます。

f:id:jurupapa:20140422001257p:plain

\( x \geq -\frac{5}{2} \) の時、関数 \( y=x^3 - 6\,x \) の最小値はいくつでしょうか。同様に\( x \geq -3 \) の時、最小値はどうなるでしょうか。前者を論理式で表すと、

$$ \forall x,\, x \geq -\frac{5}{2} \implies x^3 - 6\,x \geq m $$

mには量限定子はついていません(このような変数を自由変数と呼びます)。ですがmとして具体的な値を決めれば、この式の真偽を決めることができます。ではmをどんな値に決めるとこの式が成り立つのでしょうか。(1)にQ.E.を適用すると次のような式が得られます。

$$ m\leq -4\,\sqrt{2} $$

確かに量限定子のついていた \( x \)は消去されて、mだけの式になっています。そしてこの(2)から分かることは \( m \leq -4\,\sqrt{2} \)ならば(1)が成り立つ、ということです。逆にmがこの範囲外ならば(1)は成り立ちません。つまり(1)と(2)は同値なのです。そしてこの範囲で関数 \( y=x^3 - 6\,x \) の最小値mは \( m = -4\,\sqrt{2} \) です。

 

$$ \forall x,\, x \geq -3 \implies x^3 - 6\,x \geq m $$

これにQ.E.を適用すると、

$$ m \leq -9 $$

を得ます。つまりこの範囲で最小値は-9です。

This is a test.
天気