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Maxima で綴る数学の旅

紙と鉛筆の代わりに、数式処理システムMaxima / Macsyma を使って、数学を楽しみましょう

-Maxima入門- ハートの方程式の面積 (少し遅れたバレンタイン)

 

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Chocolat fait à la main de mes filles

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以前の記事で、ハートの方程式を紹介しました。以下のような式です。この式がそう呼ばれる理由は、グラフを描けば一目瞭然です。

(%i1) HF:x^2+(y-x^(2/3))^2=1;

$$ \tag{%o1} \left(y-x^{\frac{2}{3}}\right)^2+x^2=1 $$

(%i2) wxdraw2d(implicit(%,x,-1.5,1.5,y,-1.5,2),proportional_axes=xy);

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$$ \tag{%o2} \left[ \mathrm{gr2d}\left(\mathrm{implicit}\right) \right]  $$

こんなグラフをこの季節に見れば、当然面積を求めたくなるものです?!Maximaで求めてみましょう。まず、この陰関数をyについて解いてみます。

(%i3) S:solve(HF,y);

$$ \tag{%o3} \left[ y=x^{\frac{2}{3}}-\sqrt{1-x^2} , y=\sqrt{1-x^2}+x^{\frac{2}{3}} \right]  $$

2つの解が求まりました。とりあえずそれぞれをHF1(x), HF2(x)として定義しておきます。:=ではなくdefineで関数を定義していることに注意して下さい。

(%i4) define(HF1(x),rhs(S[1]));

$$ \tag{%o4} \mathrm{HF1}\left(x\right):=x^{\frac{2}{3}}-\sqrt{1-x^2} $$

(%i5) define(HF2(x),rhs(S[2]));

$$ \tag{%o5} \mathrm{HF2}\left(x\right):=\sqrt{1-x^2}+x^{\frac{2}{3}} $$

これらの関数をそれぞれ描画することで、元のグラフのどの部分に相当するのか念のため確認しておきましょう。

(%i6) wxplot2d(HF2(x),[x,-1,1]);

 f:id:jurupapa:20140218001854p:plain

$$ \tag{%o6}  $$

(%i7) wxplot2d(HF1(x),[x,-1,1]);

f:id:jurupapa:20140218001956p:plain

$$ \tag{%o7}  $$

つまりHF1(x)はハートの下の部分、HF2(x)はハートの上側の部分になる訳です。従ってハートの面積は次の積分で求めることができます。

(%i8) integrate('(HF2(x)-HF1(x)),x,-1,1)=integrate(HF2(x)-HF1(x),x,-1,1);

$$ \tag{%o8} \int_{-1}^{1}{\mathrm{HF2}\left(x\right)-\mathrm{HF1}\left(x\right)\;dx}=\pi $$

(%i9) 

ハートの面積は \( \pi \) と求まりました。

 

少し遅れてしまいましたが、バレンタインの話題にどうぞ!

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